黎曼几何古典理论

下面给出部分的黎曼几何古典理论。

一般理论

高斯-博内定理 ：紧致二维黎曼流形上高斯曲率的积分等于 2 π π --> χ χ --> ( M ) {\displaystyle 2\pi \chi (M)} 这里的 χ χ --> ( M ) {\displaystyle \chi (M)} 记作 M 的欧拉示性数。

纳什嵌入定理 （两个）被称为黎曼几何的基础理论。他们表明每个黎曼流形可以是嵌入欧几里得空间 R .

理论

所有给出的定理中，都将用用空间的局部行为（通常用曲率假设表述）来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。

受限截面曲率

1/4-受限 球定理. 若 M 是完备 n -维黎曼流形，其截面曲率严格限制于1和4之间，则 M 同胚于 n -球。

Cheeger"s有限定理. 给定常数 C 和 D ，只有有限个（微分同胚的流形算作一个）紧 n -维黎曼流形，其截面曲率 | K | ≤ ≤ --> C {\displaystyle |K|\leq C} 并且直径 ≤ ≤ --> D {\displaystyle \leq D} 。

Gromov的几乎平坦流形. 存在一个 ϵ ϵ --> n > 0 {\displaystyle \epsilon _{n}>0} 使得如果一个 n -维黎曼流形其度量的截面曲率 | K | ≤ ≤ --> ϵ ϵ --> n {\displaystyle |K|\leq \epsilon _{n}} 且直径 ≤ ≤ --> 1 {\displaystyle \leq 1} ，则其有限覆盖微分同胚于一个零流形.

正曲率

正截面曲率

灵魂定理 若 M 是一个不紧的完备正曲率 n -维黎曼流形，则它微分同胚于 R .

Gromov的贝蒂数定理 有一个常数 C=C(n) 使得若 M 是一个由正截面曲率的紧连通 n -维黎曼流形，则它的贝蒂数之和不超过 C .

正里奇曲率

Myers定理. 若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。

分裂定理. 若一个完备的 n -维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线（在任何区间上的距离都极小的测地线）则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备( n -1)-维黎曼流形的直积。

Bishop"s不等式. 半径为 r 的球在一个有正Ricci曲率的完备 n -维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。

Gromov"s紧致性定理. 所有正Ricci曲率且直径不超过 D 的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿紧的。

数量曲率

n -维环不存在有正数量曲率的度量。

若一个紧 n -维黎曼流形的单射半径 ≥ ≥ --> π π --> {\displaystyle \geq \pi } ，则数量曲率的平均值不超过 n （ n -1）。

负曲率

负截面曲率

任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。

若 M 是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则基本群的任何可交换子群同构于整数群 Z 。

设V 是一 R {\displaystyle \mathbb {R} } -rank ≥ ≥ --> {\displaystyle \geq } 2的紧致不可对称部对称空间，设V是一截面曲率 K ≤ ≤ --> 0 {\displaystyle K\leq 0} 的紧致 C ∞ ∞ --> {\displaystyle C^{\infty }} 黎曼流形，若 v o l ( V ) = v o l ( V ∗ ∗ --> ) {\displaystyle vol(V)=vol(V^{*})} ，且 π π --> 1 ( V ) = π π --> 1 ( V ∗ ∗ --> ) {\displaystyle \pi _{1}(V)=\pi _{1}(V^{*})} ，则 V {\displaystyle V} 与 V ∗ ∗ --> {\displaystyle V^{*}} 等距。

负里奇曲率

任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群。

任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。

参考文献

Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century , (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)

Peter Peterson, Riemannian Geometry , (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)

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