微扰阶数

摄动理论的标准阐述主要是以微扰的阶数来分辨：一阶摄动理论或二阶摄动理论。再来就是以微扰的简并度来分辨：无简并或有简并。有简并的摄动，又称为奇异摄动（singular perturbation），比较难解，必须用到更进阶的理论。

一阶无简并摄动理论

本段落讲述微分方程的一阶微扰理论。为了简单易解，假设零微扰系统的解答是不简并的。

一阶本征值修正

许多常微分方程或偏微分方程可以表达为

其中，D{\displaystyle D\,\!}是某特定微分算子，λ λ -->{\displaystyle \lambda \,\!}是其本征值。

假设微分算子可以写为

其中，ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon \,\!}是微小的度量。

又假设我们已知道D(0){\displaystyle D^{(0)}\,\!}的解答的完备集{fi(0)(x)}{\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}；其中，解答fi(0)(x){\displaystyle f_{i}^{(0)}(x)\,\!}是D(0){\displaystyle D^{(0)}\,\!}的本征值为λ λ -->i(0){\displaystyle \lambda _{i}^{(0)}\,\!}的本征函数。用方程表达，

还有，这一集合的解答{fi(0)(x)}{\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}形成一个正交归一集：

其中，δ δ -->ij{\displaystyle \delta _{ij}\,\!}是克罗内克函数。

取至零阶，完全解g(x){\displaystyle g(x)\,\!}应该相当接近集合里一个零微扰解。设定这零微扰解为fn(0)(x){\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}。用方程表达，

其中，O{\displaystyle {\mathcal {O}}\,\!}采用大O符号来描述函数的渐近行为。

完全解的本征值也可近似为

将完全解g(x){\displaystyle g(x)\,\!}写为零微扰解的线性组合，

其中，除了cn{\displaystyle c_{n}\,\!}以外，所有的常数cm, m≠ ≠ -->n{\displaystyle c_{m},\ m\neq n\,\!}的值是O(ϵ ϵ -->){\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}；只有cn{\displaystyle c_{n}\,\!}的值是O(1){\displaystyle {\mathcal {O}}(1)\,\!}。

将公式 (2)代入公式 (1)，乘以fn(0)(x){\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}，利用正交归一性，可以得到

这可以很容易地改变为一个简单的线性代数问题，一个寻找矩阵的本征值的问题：给予 ∑ ∑ -->mAnmcm=λ λ -->cn{\displaystyle \sum _{m}A_{nm}c_{m}=\lambda c_{n}\!\,\!}，求λ λ -->{\displaystyle \lambda \,\!}；其中，Anm{\displaystyle A_{nm}\,\!}是矩阵元素：

我们并不需要解析整个矩阵。注意到线性方程里的每一个cm{\displaystyle c_{m}\,\!}都是O(ϵ ϵ -->){\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!}；只有cn{\displaystyle c_{n}\,\!}的值是O(1){\displaystyle {\mathcal {O}}(1)\,\!}。所以，取至ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon \,\!}一阶，线性方程可以很容易地解析为

这就是一阶摄动理论的本征值解答。一阶本征值数修正是

一阶本征函数修正

取至一阶，函数g(x){\displaystyle g(x)\,\!}可以用类似的推理求得。设定

那么，公式 (1)变为

取至一阶，展开这方程。经过一番运算，可以得到

由于{fi(0)(x)}{\displaystyle \{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!}是一个完备集，fn(1)(x){\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)\,\!}可以写为

请注意，这方程右手边的总和表达式，并不含有fn(0)(x){\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}项目。任何fn(0)(x){\displaystyle f_{n}^{(0)}(x)\,\!}的贡献，可以与公式 (4)的零阶项目相合并。

将公式 (6)代入公式 (5)，可以得到

将这方乘式两边都乘以fj(0)(x){\displaystyle f_{j}^{(0)}(x)\,\!}，再随著x{\displaystyle x\,\!}积分，利用正交归一性，可以得到

稍加编排，改变下标j{\displaystyle j\,\!}为m{\displaystyle m\,\!}。那么，一阶本征函数修正fn(1)(x){\displaystyle f_{n}^{(1)}(x)\,\!}可以写为

参阅

多体摄动理论

^William E. Wiesel.Modern Astrodynamics. Ohio: Aphelion Press. 2010: 107. ISBN 978-145378-1470. 

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