概念

微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变数的变化，一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变，又加上已知这变数在某一点的数值或导数值，就能求得物理变数在任何点的数值。

哈密顿原理用积分方程来表述物理系统的运动。我们只需要设定系统在两个点的状态，叫做最初状态与最终状态。然后，经过求解系统作用量的平稳值，我们可以得到系统在，两个点之间，其他点的状态。不但是关于经典力学中的一个单独粒子，而且也关于经典场像电磁场与万有引力场，这表述都是正确的。更值得一提的是，现今，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。

用变分法数学语言来表述，求解一个物理系统作用量的平稳值（通常是最小值），可以得到这系统随时间的演变（就是说，系统怎样从一个状态演变到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演变对于任何摄动必须是平稳的。这要求导致出描述正确演变的微分方程。

定义

哈密顿原理阐明，一个物理系统的拉格朗日函数L{\displaystyle L\,}所构成的作用量泛函S{\displaystyle {\mathcal {S}}\,}，其平稳值是这物理系统的真实演化。

以数学方程表示，定义作用量为

其中，L(q,q˙ ˙ -->,t){\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,}是系统的拉格朗日函数，广义坐标q=(q1,q2,… … -->,qN){\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\righ时间\,}是时间t{\displaystyle t\,}的函数，t1{\displaystyle t_{1}\,}和t2{\displaystyle t_{2}\,}分别为初始时间和终结时间。

假若，作用量的一次变分δ δ -->S=0{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,}，作用量S{\displaystyle {\mathcal {S}}\,}为平稳值，则q(t){\displaystyle \mathbf {q} (t)\,}正确地描述这系统的真实演化。

拉格朗日方程导引

从哈密顿原理可以推导出拉格朗日方程。假设q(t){\displaystyle \mathbf {q} (t)\,}是系统的正确运动，摄动函数ε ε -->(t){\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,}为一个虚位移δ δ -->q{\displaystyle \delta \mathbf {q} \,}，虚位移在轨道的两个端点的值是零：

取至ε ε -->(t){\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,}的一阶摄动，作用量泛函的一次变分为

这里，我们将拉格朗日量L{\displaystyle L\,}展开至ε ε -->(t){\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,}的一阶摄动。

应用分部积分法于最右边项目：

边界条件ε ε -->(t1)=ε ε -->(t2) =def 0{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,}使第一个项目归零：

作用量泛函S{\displaystyle {\mathcal {S}}\,}平稳的要求意味着，对于正确运动的任意摄动ε ε -->(t){\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,}，一次变分δ δ -->S{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,}必须等于零：

特别注意，我们没有对广义坐标q{\displaystyle \mathbf {q} \,}做任何要求。在这里，我们要求所有的广义坐标都互不相依；也就是说，这系统是完整系统。这样，我们可以应用变分法基本引理而得到拉格朗日方程：

在各个物理学领域，拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程，能够用来精确地理论分析许多物理系统。

参阅

变分法

拉格朗日力学

哈密顿力学

诺特定理

作用量

参考文献

W.R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics.", Philosophical Transaction of the Royal SocietyPart I (1834) p.247-308;Part II (1835) p. 95-144.（From the collectionSir William Rowan Hamilton (1805-1865）: Mathematical Papersedited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland.（2000）; also reviewed asOn a General Method in Dynamics)

Herbert Goldstein (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35-69.

列夫·朗道and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics（Butterworth-Heinenann, 1976）, 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0.

Arnold VI.（1989）Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer Verlag, pp. 59-61.

^列夫, 朗道. 理论物理学教程-第一卷 力学. 北京: 高等教育出版社. 2007: 2. ISBN 9787040208498. 

^列夫, 朗道. 理论物理学教程-第一卷 力学. 北京: 高等教育出版社. 2007: 第2到第3页. ISBN 9787040208498. 

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