方程的叙述

泊松方程为

在这里Δ Δ -->{\displaystyle \Delta }代表的是拉普拉斯算子，而f{\displaystyle f}和φ φ -->{\displaystyle \varphi }可以实数流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为∇ ∇ -->2{\displaystyle {\nabla }^{2}}，因此泊松方程通常写成

在三维直角坐标系，可以写成

如果有f(x,y,z){\displaystyle f(x,y,z)}恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。现在有很多种数值解。像是松弛法（英语：relaxation method），不断回圈的代数法，就是一个例子。

数学表达

通常泊松方程表示为

这里Δ Δ -->{\displaystyle \Delta }代表拉普拉斯算子，f{\displaystyle f}为已知函数，而φ φ -->{\displaystyle \varphi }为未知函数。当f=0{\displaystyle f=0} 时，这个方程被称为拉普拉斯方程。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

其中 Ω Ω -->⊂ ⊂ -->Rn{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} 为有界开集。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

其中ω ω -->n{\displaystyle \omega _{n}}为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积(Φ Φ -->∗ ∗ -->f){\displaystyle (\Phi *f)}得到 − − -->Δ Δ -->φ φ -->=f{\displaystyle -\Delta \varphi =f}的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

ϕ ϕ -->x{\displaystyle \phi ^{x}} 为一个校正函数，它满足

通常情况下ϕ ϕ -->x{\displaystyle \phi ^{x}}是依赖于Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }。

通过 G(x,y){\displaystyle G(x,y)}可以给出上述边界条件的解

其中σ σ -->{\displaystyle \sigma } 表示∂ ∂ -->Ω Ω -->{\displaystyle \partial \Omega }上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

静电学

在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。在国际单位制（SI）中：

此Φ Φ -->{\displaystyle \Phi \!}代表电势（伏特为伏特），ρ ρ -->{\displaystyle \rho \!}是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而ϵ ϵ -->0{\displaystyle \epsilon _{0}\!}是法拉电容率（单位为法拉/米）。

如果空间中有某区域没有带电粒子，则

此方程就变成拉普拉斯方程：

高斯电荷分布的电场

如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度 ρ ρ -->(r){\displaystyle \rho (r)}：

此处，Q代表总电荷

此泊松方程：∇ ∇ -->2Φ Φ -->=− − -->ρ ρ -->ϵ ϵ -->0{\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}} 的解Φ(r)则为

erf(x)代表的是误差函数.

注意：如果r远大于σ，erf(x)趋近于1，而电场Φ(r)趋近点电荷电场 14π π -->ϵ ϵ -->0Qr{\displaystyle {1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r}}；正如我们所预期的。

参阅

离散泊松方程（英语：Discrete Poisson equation）

泊松-玻尔兹曼方程

泊松方程的唯一性定理（英语：Uniqueness theorem for Poisson"s equation）

参考资料

Poisson Equationat EqWorld: The World of Mathematical Equations.

L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2

A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

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