定义

曼德博集合可以用复二次多项式来定义：

其中 c {\displaystyle c} 是一个复数参数。

从 z = 0 {\displaystyle z=0} 开始对 f c ( z ) {\displaystyle f_{c}(z)} 进行迭代：

每次迭代的值依序如以下序列所示：

( 0 , f c ( 0 ) , f c ( f c ( 0 ) ) , f c ( f c ( f c ( 0 ) ) ) , … … --> ) {\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}

不同的参数 c {\displaystyle c} 可能使序列的绝对值逐渐发散到无限大，也可能收敛在有限的区域内。

曼德博集合 M {\displaystyle M} 就是使序列不延伸至无限大的所有复数 c {\displaystyle c} 的集合。

特性

自相似

面积为 1.506 591 856 1

相关的定理

定理一

若 | c | ≤ ≤ --> 1 4 {\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}} ，则 c ∈ ∈ --> M {\displaystyle c\in {M}}

证明：

假设 | c | ≤ ≤ --> 1 4 {\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}} 为真

则 | z 1 | = | c | ≤ ≤ --> 1 4 < 1 2 {\displaystyle |z_{1}|=|c|\leq {\frac {1}{4}}

第一步：

当 n = 2 {\displaystyle n=2\,} 时

因为 | c | ≤ ≤ --> 1 4 {\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}

由以上可得知 | z 2 | < 1 2 {\displaystyle |z_{2}|

第二步：

假设 | z n | < 1 2 {\displaystyle |z_{n}| 成立

由上式可得知 | z n + 1 | < 1 2 {\displaystyle |z_{n+1}|

由数学归纳法可得知对于所有的n(n=1,2,...)， | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 皆比 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\,} 小。

当n趋近无限大时 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 依然没有发散，所以 c ∈ ∈ --> M {\displaystyle c\in {M}} ，故得证。

定理二

若 c ∈ ∈ --> M {\displaystyle c\in {M}} ，则 | c | ≤ ≤ --> 2 {\displaystyle |c|\leq {2}}

证明：

假设 | c | > 2 {\displaystyle |c|>2\,}

则 | z 1 | = | c | , | z 1 | > 2 {\displaystyle |z_{1}|=|c|,|z_{1}|>2\,}

第一步：

当 n = 2 {\displaystyle n=2\,} 时

由 | c | > 2 {\displaystyle |c|>2\,} ，左右同乘 | c | {\displaystyle |c|\,} 再减去 | c | {\displaystyle |c|\,} 可得到下式

由以上可得知 | z 2 | > | c | {\displaystyle |z_{2}|>|c|\,}

第二步：

假设 | z n | > | c | {\displaystyle |z_{n}|>|c|\,} 成立，则 | z n | > 2 {\displaystyle |z_{n}|>2\,}

因为 | z n | > | c | {\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}

由 | z n | > 2 {\displaystyle |z_{n}|>2\,} ，左右同乘 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 再减去 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 可得到下式

由以上可得知 | z n + 1 | > | z n | {\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}

由数学归纳法可得知 2 < | z 1 | < | z 2 | < . . . < | z n | < | z n + 1 | < | z n + 2 | {\displaystyle 2 ，可看出随着迭代次数增加 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 逐渐递增并发散。

假如 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 不发散，则收敛于某个常数 a > | c | > 2 {\displaystyle a>|c|>2} ,

由 | z n + 1 | ≥ ≥ --> | z n | 2 − − --> | c | {\displaystyle |z_{n+1}|\geq |z_{n}|^{2}-|c|} 再取极限得 a ≥ ≥ --> a 2 − − --> | c | {\displaystyle a\geq a^{2}-|c|} 即 a 2 − − --> a ≤ ≤ --> | c | {\displaystyle a^{2}-a\leq |c|} 。

又 a 2 − − --> a = a ( a − − --> 1 ) ≥ ≥ --> a > | c | {\displaystyle a^{2}-a=a(a-1)\geq a>|c|} ，矛盾，故 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 发散。

所以若 | c | > 2 {\displaystyle |c|>2\,} ，则 c ∉ ∉ --> M {\displaystyle c\notin {M}} ，故得证。

定理三

若 c ∈ ∈ --> M {\displaystyle c\in {M}} ，则 | z n | ≤ ≤ --> 2 , ( n = 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle |z_{n}|\leq {2},(n=1,2,...)}

证明：

要证明若 | z n | > 2 , ( n = 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,} ，则 c ∉ ∉ --> M {\displaystyle c\notin {M}}

首先分别探讨 | c | > 2 {\displaystyle |c|>2\,} 与 | c | ≤ ≤ --> 2 {\displaystyle |c|\leq 2} 两种情形

由定理二可知道 | z n | > 2 , ( n = 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,} 且 | c | > 2 {\displaystyle |c|>2\,} 时， c ∉ ∉ --> M {\displaystyle c\notin {M}} 。

接着要证明 | c | ≤ ≤ --> 2 {\displaystyle |c|\leq 2} 时的情况：

假设 | z n | > 2 {\displaystyle |z_{n}|>2\,} ，因为 | c | ≤ ≤ --> 2 {\displaystyle |c|\leq 2} ，所以 | z n | > | c | {\displaystyle |z_{n}|>|c|\,} ，而

因为 | z n | > | c | {\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}

由 | z n | > 2 {\displaystyle |z_{n}|>2\,} ，左右同乘 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 再减去 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 可得到下式

由以上可得知 | z n + 1 | > | z n | {\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}

由数学归纳法可得知 2 < | z n | < | z n + 1 | < | z n + 2 | < . . . {\displaystyle 2 ，可看出随着迭代次数增加 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 逐渐递增并发散。

所以在 | z n | > 2 , ( n = 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,} 且 | c | ≤ ≤ --> 2 {\displaystyle |c|\leq 2} 的情况下也是 c ∉ ∉ --> M {\displaystyle c\notin {M}} 。

综合上述可得知不论 | c | {\displaystyle |c|\,} 为多少

若 | z n | > 2 , ( n = 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,} ，则 c ∉ ∉ --> M {\displaystyle c\notin {M}} ，故得证。

利用定理三可以在程式计算时快速地判断 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 是否会发散。

计算的方法

曼德博集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德博集合的计算思路。

ForEachcinComplexrepeats=0z=0Doz=z^2+crepeats=repeats+1Loopuntilabs(z)>EscapeRadiusorrepeats>MaxRepeats"根据定理三，EscapeRadius可设置为2。Ifrepeats>MaxRepeatsThenDrawc,Black"如果迭代次数超过MaxRepeats，就将c认定为属于曼德博集合，并设置为黑色。ElseDrawc,color(z,c,repeats)"colo函数用来决定颜色。EndIfNext

决定颜色的一些方法

直接利用循环终止时的Repeats

综合利用z和Repeats

Orbit Traps

Mathematica代码

mand=Compile[{{z0,_Complex},{nmax,_Integer}},Module[{z=z0,i=1},While[i<nmax&&Abs[z]<=2,z=z^2+z0;i++];i]];ArrayPlot[Reverse@Transpose@Table[mand[x+yI,500],{x,-2,2,0.01},{y,-2,2,0.01}]]

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。