基尔霍夫电流定律

  所有进入节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。对于本图案例， i 1 + i 4 = i 2 + i 3 {\displaystyle i_{1}+i_{4}=i_{2}+i_{3}}

。

基尔霍夫电流定律 又称为 基尔霍夫第一定律 ，表明 ：

或者，更详细描述，

以方程表达，对于电路的任意节点，

其中， i k {\displaystyle i_{k}} 是第 k {\displaystyle k} 个进入或离开这节点的电流，是流过与这节点相连接的第 k {\displaystyle k} 个支路的电流，可以是实数或复数。

由于累积的电荷（单位为库仑）是电流（单位为安培）与时间（单位为秒）的乘积，从电荷守恒定律可以推导出这条定律。其实质是稳恒电流的连续性方程，即根据电荷守恒定律，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。

导引

思考电路的某节点，跟这节点相连接有 n {\displaystyle n} 个支路。假设进入这节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则经过这节点的总电流 i {\displaystyle i} 等于流过支路 k {\displaystyle k} 的电流 i k {\displaystyle i_{k}} 的代数和：

将这方程积分于时间，可以得到累积于这节点的电荷的方程：

其中， q = ∫ ∫ --> 0 t i ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle q=\int _{0}^{t}i(t")\mathrm {d} t"} 是累积于这节点的总电荷， q k = ∫ ∫ --> 0 t i k ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t")\mathrm {d} t"} 是流过支路 k {\displaystyle k} 的电荷， t {\displaystyle t} 是检验时间， t ′ {\displaystyle t"} 是积分时间变数。

假设 q > 0 {\displaystyle q>0} ，则正电荷会累积于节点；否则，负电荷会累积于节点。根据电荷守恒定律， q {\displaystyle q} 是个常数，不能够随着时间演进而改变。由于这节点是个导体，不能储存任何电荷。所以， q = 0 {\displaystyle q=0} 、 i = 0 {\displaystyle i=0} ，基尔霍夫电流定律成立：

含时电荷密度

从上述推导可以看到，只有当电荷量为常数时，基尔霍夫电流定律才会成立。通常，这不是个问题，因为静电力相斥作用，会阻止任何正电荷或负电荷随时间演进而累积于节点，大多时候，节点的净电荷是零。

不过，电容器的两块导板可能会允许正电荷或负电荷的累积。这是因为电容器的两块导板之间的空隙，会阻止分别累积于两块导板的异性电荷相遇，从而互相抵消。对于这状况，流向其中任何一块导板的电流总和等于电荷累积的速率，而不是零。但是，若将位移电流 J D {\displaystyle \mathbf {J} _{D}} 纳入考虑，则基尔霍夫电流定律依然有效。详尽细节，请参阅条目位移电流。只有当应用基尔霍夫电流定律于电容器内部的导板时，才需要这样思考。若应用于电路分析（ cirt analysis ）时，电容器可以视为一个整体元件，净电荷是零，所以原先的电流定律仍适用。

由更技术性的层面来说，取散度于麦克斯韦修正的安培定律，然后与高斯定律相结合，即可得到基尔霍夫电流定律：

其中， J {\displaystyle \mathbf {J} } 是电流密度， ϵ ϵ --> 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 是电常数， E {\displaystyle \mathbf {E} }电场是电场， ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 是电荷密度。

这是电荷守恒的微分方程。以积分的形式表述，从封闭表面流出的电流等于在这封闭表面内部的电荷 Q {\displaystyle Q} 的流失率：

基尔霍夫电流定律等价于电流的散度是零的论述。对于不含时电荷密度 ρ ρ --> {\displaystyle \rho } ，这定律成立。对于含时电荷密度，则必需将位移电流纳入考虑。

应用

以矩阵表达的基尔霍夫电流定律是众多电路模拟软件（ electronic cirt simulation ）的理论基础，例如，SPICE或NI Multisim。

基尔霍夫电压定律

  沿着闭合回路所有元件两端的电压的代数和等于零。对于本图案例， v 1 + v 2 + v 3 − − --> v 4 = 0 {\displaystyle v_{1}+v_{2}+v_{3}-v_{4}=0}

。

基尔霍夫电压定律 又称为 基尔霍夫第二定律 ，表明 ：

或者，换句话说，

以方程表达，对于电路的任意闭合回路，

其中， m {\displaystyle m} 是这闭合回路的元件数目， v k {\displaystyle v_{k}} 是元件两端的电压，可以是实数或复数。

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路。

电场与电势

在静电学里，电势定义为电场的负线积分：

其中， ϕ ϕ --> ( r ) {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )} 是电势， E {\displaystyle \mathbf {E} } 是电场， L {\displaystyle \mathbb {L} } 是从参考位置到位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的路径， d ℓ ℓ --> {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}} 是这路径的微小线元素。

那么，基尔霍夫电压定律可以等价表达为：

其中， C {\displaystyle \mathbb {C} } 是积分的闭合回路。

这方程乃是法拉第电磁感应定律对于一个特殊状况的简化版本。假设通过闭合回路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的磁通量为常数，则这方程成立。

这方程指明，电场沿着闭合回路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的线积分为零。将这线积分切割为几段支路，就可以分别计算每一段支路的电压。

理论限制

由于含时电流会产生含时磁场，通过闭合回路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的磁通量是时间的函数，根据法拉第电磁感应定律，会有电动势 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 出现于闭合回路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 。所以，电场沿着闭合回路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的线积分不等于零。这是因为电流会将能量传递给磁场；反之亦然，磁场亦会将能量传递给电流。

对于含有电感器的电路，必需将基尔霍夫电压定律加以修正。由于含时电流的作用，电路的每一个电感器都会产生对应的电动势 E k {\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}} 。必需将这电动势纳入基尔霍夫电压定律，才能求得正确答案。

频域

思考单频率交流电路的任意节点，应用基尔霍夫电流定律

其中， i k {\displaystyle i_{k}} 是第 k {\displaystyle k} 个进入或离开这节点的电流， I k {\displaystyle I_{k}} 是其振幅， θ θ --> k {\displaystyle \theta _{k}} 是其相位， ω ω --> {\displaystyle \omega } 是角频率， t {\displaystyle t} 是时间。

对于任意时间，这方程成立。所以，设定相量 I k = I k e j θ θ --> k {\displaystyle \mathbb {I} _{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}} ，则可以得到频域的基尔霍夫电流定律，以方程表达，

频域的基尔霍夫电流定律表明：

这是节点分析的基础定律。

类似地，对于交流电路的任意闭合回路，频域的基尔霍夫电压定律表明：

以方程表达，

其中， V k {\displaystyle \mathbb {V} _{k}} 是闭合回路的元件两端的电压相量。

这是网目分析（ mesh analysis ）的基础定律。

参见

参考

Paul, Clayton R. Fundamentals of Electric Cirt Analysis. John Wiley & Sons. 2001. ISBN 978-0-471-37195-3.

Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. 2004. ISBN 978-0-534-40842-8.

Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0810-0.

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