定义

一个泊松代数是域 K 上一个向量空间装备着两个双线性乘积，⋅ ⋅ -->{\displaystyle \cdot } 与 { , }，满足如下性质：

乘积 ⋅ ⋅ -->{\displaystyle \cdot } 构成一个结合 K-代数；

乘积 { , }，叫做泊松括号，构成李代数，从而反对称并满足雅可比恒等式。

泊松括号是结合乘积 ⋅ ⋅ -->{\displaystyle \cdot 导子的导子，即对此代数中任何三个元素 x，y 与 z，都有 {x, y⋅ ⋅ -->{\displaystyle \cdot }z} = {x, y}⋅ ⋅ -->{\displaystyle \cdot }z + y⋅ ⋅ -->{\displaystyle \cdot }{x, z}。

最后一个性质通常保证了这个代数有其他给出表述，可见下面例子中所指出。

例子

泊松代数出现于多种不同场合。

辛流形

辛流形上实值光滑函数组成一个泊松代数。辛流形上每个实值函数 H{\displaystyle H} 在此流形上产生一个向量场 XH{\displaystyle X_{H}}，即哈密顿向量场。然后给定此辛流形上任何光滑函数 F{\displaystyle F} 与 G{\displaystyle G}，它们的泊松括号 {,} 定义为

这个定义是一致的是因为此泊松括号是一个导子。等价地，可以将 {,} 定义为

这里 [,] 是李导数。当辛流形是带着标准辛结构的 R2n{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}，则泊松括号取如下熟知的形式

可对泊松流形进行类似的考虑，它允许辛双向量在流形的某些位置消没。

结合代数

如果 A 是一个结合代数，则交换子 [x,y]≡xy−yx 使它成为一个泊松代数。

顶点算子代数

对一个顶点算子代数(V,Y,ω ω -->,1){\displaystyle (V,Y,\omega ,1)}，空间 V/C2(V){\displaystyle V/C_{2}(V)} 是一个泊松代数，其中 {a,b}=a0b{\displaystyle \{a,b\}=a_{0}b} 而 a⋅ ⋅ -->b=a− − -->1b{\displaystyle a\cdot b=a_{-1}b}。对某些定点算子代数，这个泊松代数是有限维的。

相关条目

泊松超代数（Poisson superalgebra）

格尔斯滕哈伯代数

Moyal bracket

参考文献

Y. Kosmann-Schwarzbach,Poisson algebra, (编) Hazewinkel, Michiel,数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

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