开尔文-亥姆霍兹收缩产生的能量

在理论上曾推论，来自于收缩释放出的重力位能是太阳的能量来源。计算在这种历程中太阳能释放出多少的能量（假设密度是均匀的），他是依个接近理想的同心圆球壳，重力位能是对所有球壳，从中心到最外层半径，积分的结果。

由牛顿力学得知重力位能的形式为：

U=− − -->Gm1m2r{\displaystyle U=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}}}

此处G是万有引力常数，两个质量分别是每一层半径为r厚度为dr的球壳所拥有的质量，从0到所有球壳半径的一次积分。这个陈述（转换）的结果是：

U=− − -->G∫ ∫ -->0Rm(r)4π π -->r2ρ ρ -->rdr{\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {m(r)4\pi r^{2}\rho }{r}}\,dr}

此处R是球体最外层的半径，m(r)是在半径为r之处以内的总质量。将m(r)以体积和密度来表示，以满足积分的条件：

U=− − -->G∫ ∫ -->0R4π π -->r3ρ ρ -->4π π -->r2ρ ρ -->3rdr=− − -->1615Gπ π -->2ρ ρ -->2R5{\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{3}\rho 4\pi r^{2}\rho }{3r}}\,dr=-{\frac {16}{15}}G\pi ^{2}\rho ^{2}R^{5}}

再计算球体的总质量后，给的最后答案是：

U=− − -->3M2G5R{\displaystyle U=-{\frac {3M^{2}G}{5R}}}

此处密度是否一致无关紧要，我们可以加入已知的太阳质量和半径，然后除以已知的太阳光度，得到一个粗略的数量级和估计太阳的生命期。注意此处加入另一个估计值，因为太阳输出的能量并非永远保持着常数。

UL⨀ ⨀ -->≈ ≈ -->2.3× × -->10414× × -->1026≈ ≈ -->18,220,650 {\displaystyle {\frac {U}{L_{\bigodot }}}\approx {\frac {2.3\times 10^{41}}{4\times 10^{26}}}\approx 18,220,650\ }年

此处L⨀ ⨀ -->{\displaystyle {L_{\bigodot }}}是太阳的亮度。尽管该结果比诸如电磁能等其他物理方法能够在更长的时间持续输出能量，该方法仍然与已知的地质学和生物学证据相违背，那些证据表明地球已经有数十亿年的历史了。最后终于发现热核能量才能长期供应和维持恒星的能量输出。

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