概述

牛顿第二定律 表明，物体的加速度与净外力成正比，与物体的质量成反比，方向与合外力方向相同。这定律又称为“加速度定律”。以方程表达，

其中， F {\displaystyle \mathbf {F} } 是合外力，是所有施加于物体的力的矢量和， m {\displaystyle m} 是质量， a {\displaystyle \mathbf {a} } 是加速度。

而数学上，牛顿第二定律通常表达为：

这里实际上定义了质量为合外力与加速度的比率。这样定义的质量称为物体的惯性质量，是物体的固有属性，与外力无关。这样在数量上，施加于物体的合外力等于物体质量与加速度的乘积。国际标准制中，将力的单位定义为使得单位质量的物体得到单位加速度的所需 ，这与惯性质量的定义相容。

具体来说，力、加速度、质量的单位分别规定为牛顿（N）、米每二次方秒（m/s ），公斤（kg）。施加1牛顿的力于质量为1公斤的物体，可以使此物体的加速度为1m/s 。也就是说，

合外力只能造成物体朝着同方向的加速度运动。假定物体的质量、初始速度与初始位置为已知量，则从施加于物体的合外力，可以应用第二定律计算出物体的运动轨迹。这是一个非常有用的方法。

合外力与加速度都是矢量，这矢量方程实际是由三个标量方程组成的。采用直角坐标系 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} ，这三个标量方程分别为

其中， ( F x , F y , F z ) {\displaystyle (F_{x},F_{y},F_{z})} 是 F {\displaystyle \mathbf {F} } 的分量， ( a x , a y , a z ) {\displaystyle (a_{x},a_{y},a_{z})} 是 a {\displaystyle \mathbf {a} } 的分量。

合外力在每个坐标轴方向上的分量只能影响加速度在那个坐标轴方向上的分量，不能影响加速度的其它分量，而加速度对于每个轴的分量也只能被合外力对于那个轴的分量影响，不能被合外力的其它分量影响。

假设施加于物体的合外力为零，则加速度为零，速度为常数。由于动量是质量与速度的乘积，这意味着动量守恒：当施加于物体的合外力为零时，物体的动量是常数。

牛顿的论述

原版第二定律的英文翻译为

“motion”是“quantity of motion”的简称，在这里指的是物体的动量。“impressed force”指的是冲量。 整个句子翻译为

牛顿试着解释冲量与动量之间的关系。假设施加于物体的冲量造成了物体的动量改变，则双倍的冲量会造成双倍的动量改变，三倍的冲量会造成三倍的动量改变，不论冲量是全部同时施加，还是一部分一部分慢慢地施加，所造成的动量改变都一样。

牛顿又试着解释这动量改变与原先动量之间的关系。这动量改变必定与施加的冲量同方向。假设在冲量施加之前，物体已具有某动量，则这动量改变会与原先动量相加或相减，依它们是同方向还是反方向而定，假设动量改变与原先动量呈某角度，则最终动量是两者按著角度合成的结果。

牛顿所使用的术语的涵意、他对于第二定律的认知、他想要第二定律如何被众学者认知、以及牛顿表述与现代表述之间的关系，科学历史学者对于这些论题都已经做过广泛地研究与讨论。

质量的操作定义

牛顿定义质量为物体内部所含有的物质数量。这句话相当合理。但是，它接着表示，这物质数量，可以从物体的密度与体积乘积求得。德国物理学者恩斯特·马赫严厉批评这句话触犯了循环推理，因为密度是质量每单位体积。 严谨地思考，牛顿的定义并没有提到怎样实际得到物质数量。对于同类的物体，这问题并不困难，只要设定某参考物体S的质量为标准质量，那么，两个物体S的质量必定是这标准质量的两倍。对于不同类的物体，就比较复杂，假设这参考物体是一块银砖，那么，某块金砖的质量为何？是否要做原子分析？借着第二定律，操作定义尝试从实际测量的方法，给出物体的质量。通过这种方法定义的质量，称为惯性质量。当施加外力于某物体时，惯性质量衡量这物体对于运动状态改变的抗拒。

根据第二定律，在任何瞬间，物体遵循方程 F = m a {\displaystyle F=ma} 。这方程可以解释质量与惯性之间的关系。假设分别施加相同的外力于两个质量不同的物体，则质量较大的物体的加速度较小，而质量较小的物体的加速度较大。因此，质量较大的物体在响应外力的作用时，对于改变其运动状态表现出较强的“抗拒性”。

然而，怎样才能制造出相同的力？有很多方法可以解决这问题。例如，应用弹簧的物理性质，就可以解决这问题。当弹簧被压缩时，它会因为倾向于回复原状而产生弹力。两个同样的弹簧，假若被压缩同样的距离，则其各自产生的弹力必定相等，不论弹力的大小为何。因此，将两个物体，分别安装在这弹簧的末端，就可以确保这两个物体都感受到相等的力。假设这质量分别为 m A {\displaystyle m_{A}} 、 m B {\displaystyle m_{B}} 的两个物体A、B，由于感受到力 F {\displaystyle F} ，加速度分别为 a A {\displaystyle a_{A}} 、 a B {\displaystyle a_{B}} ，则

因此，可以从 m A {\displaystyle m_{A}} 计算出 m B {\displaystyle m_{B}} ：

按照这公式，选择一个参考物体A，定义它的质量为（譬如说）1千克。然后，通过测量与参考物体感受到同样大小的力而产生的加速度，就可以计算出任何其它物体B的质量。

力的操作定义

古斯塔夫·基尔霍夫主张定义外力为质量与加速度的乘积。 按照这方法，第二定律只是一个定义式，而不是自然法则。实际而言，这方法没有将大自然里各种各样的力纳入考量，它忽略了每一种力的独特性。为了要显示出这独特性，可以采用操作定义的方法来给出定义。

两个同样的弹簧，假若被压缩同样的距离，则其各自产生的弹力必定相等。将这两个弹簧并联，可以制成两倍的弹力。将一物体的两边分别连接这两个弹簧的末端，使弹力方向相反，则作用于物体的合力为零，物体会保持静止状态。应用这些结果，设定标准单位力为某弹簧压缩某距离所产生的弹力，就可以制成任意标准单位力倍数的弹力。这可以用来做测量实验，比较任意弹力，给予任意弹力测量值。这方法也可以给予任意万有引力、地球引力测量值。

假设一个弹簧被压缩一段距离，则经过上述测量实验，可以得知，安装在这弹簧末端的物体，会感受到的弹力 F s {\displaystyle F_{s}} 为

其中， k {\displaystyle k} 是弹簧常数， x {\displaystyle x} 是压缩距离。

假设质量分别为 m A {\displaystyle m_{A}} 、 m B {\displaystyle m_{B}} 的两个物体A、B之间的距离为 r {\displaystyle r} ，则经过上述测量实验，可以得知，物体B施加于物体A的万有引力 F G {\displaystyle F_{G}} 为

其中， G {\displaystyle G} 是万有引力常数。

假设在地球表面有一质量 m {\displaystyle m} 为的物体，则经过上述测量实验，可以得知，这物体感受到的地球引力 F g {\displaystyle F_{g}} 为

其中， g {\displaystyle g} 是重力加速度。

冲量

假设施加外力 F {\displaystyle \mathbf {F} } 于某物体的时间有 Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t} 那么久，则这等于施加冲量 J {\displaystyle \mathbf {J} } 于此物体：

根据现代的第二定律，

经过 Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t} ，假定质量不变，动量 p {\displaystyle \mathbf {p} } 的改变为

所以，冲量与动量之间的关系式为

这就是原版第二定律。

冲量的概念时常被用来分析碰撞与撞击问题。 冲量亦是矢量的一种

可变质量系统

火箭的燃料经过燃烧以后，会产生高温高压气体，经过加速排气到外界，就可以推动火箭前进。这种可变质量系统不是封闭系统，不能直接应用第二定律。因为，基本而言，第二定律只能应用于粒子（或理想化为粒子的物体）。对于多粒子系统案例，必需将第二定律加以延伸为

其中， F n e t {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {net} }} 是施加于系统的合外力， M {\displaystyle M} 是系统的总质量， a c m {\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {cm} }} 是系统质心的加速度。

对于像火箭一类的可变质量系统，必需将第二定律的方程添加一个项目，这项目专门计算进入或离开火箭的质量所带有的动量：

其中， F g {\displaystyle \mathbf {F} _{g}} 是施加于火箭的外力，例如地球施加于火箭的引力， u {\displaystyle \mathbf {u} } 是从火箭观测的排出气体的相对速度， m {\displaystyle m} 是火箭的质量， v {\displaystyle \mathbf {v} } 是火箭的速度（相对于发射台参考系）。

火箭的推力定义为

将这定义式代入，可以得到

其中， F = F g + F t {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{g}+\mathbf {F} _{t}} 是外力与推力的矢量和。

参阅

"> 播放媒体 麻省理工学院物瓦尔特·列文·列文（ Walter Lewin ）讲解牛顿第二定律。 (MIT OCW)

伊萨克·牛顿

牛顿运动定律

物理学定律列表

参考文献

Newton, Isaac,Newton"s Principia : the mathematical principles of natural philosophy, New York: Daniel Adee, 1846 （请上网阅读作者Andrew Motte的英文翻译。）

Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc., 1988, ISBN 0-486-65632-2

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