概率分布、概率密度以及分位数函数

如果随机变量的概率密度函数分布为

那么它就是拉普拉斯分布。其中， μ 是位置参数， b > 0 是尺度参数。如果 μ = 0，那么，正半部分恰好是尺度为 1/2 的指数分布。

拉普拉斯分布的概率密度函数让我们联想到正态分布，但是， 正态分布 是用相对于 μ 平均值的差的平方 来表示，而 拉普拉斯概率密度 用相对于 平均值的差的绝对值 来表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比正态分布更加平坦。

根据绝对值函数，如果将一个拉普拉斯分布分成两个对称的情形，那么很容易对拉普拉斯分布进行积分。它的累积分布函数为：

逆累积分布函数为

生成拉普拉斯变量

已知区间 (-1/2, 1/2] 中均匀分布上的随机变量 U ，随机变量

为参数 μ 与 b 的拉普拉斯分布。根据上面的逆累计分布函数可以得到这样的结果。

当两个相互独立同分布指数(1/ b )变化的时候也可以得到 Laplace(0, b ) 变量。同样，当两个相互独立同分布一致变量的比值变化的时候也可以得到 Laplace(0, 1) 变量。

相关分布

如果 Y = | X − − --> μ μ --> | {\displaystyle Y=|X-\mu |} 并且 X ∼ ∼ --> L a p l a c e {\displaystyle X\sim \mathrm {Laplace} } ，则 Y ∼ ∼ --> E x p o n e n t i a l {\displaystyle Y\sim \mathrm {Exponential} } 是指数分布。

如果 Y = X 1 − − --> X 2 {\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}} 与 X 1 , X 2 ∼ ∼ --> E x p o n e n t i a l {\displaystyle X_{1},\,X_{2}\sim \mathrm {Exponential} } ，则 Y ∼ ∼ --> L a p l a c e {\displaystyle Y\sim \mathrm {Laplace} } 。

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