欧几里得几何
公理描述
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欧几里得证明的要素,由于一个正三角形的存在必须包含每个线段,包含ΑΒΓ等边三角形的构成,是由Α和Β两点,画出圆Δ与圆Ε,并且交叉于第三点Γ上。
欧几里得几何的传统描述是一个公理系统,通过有限的公理来证明所有的“真命题”。
欧几里得平面几何的五条公理(公设)是:
从一点向另一点可以引一条直线。
任意线段能无限延伸成一条直线。
给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。
所有直角都相等。
若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公理称为平行公理(平行公设),可以导出下述命题:
平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理,但都没有成功。19世纪,通过构造非欧几里得几何,说明平行公理是不能被证明的(若从上述公理体系中去掉平行公理,则可以得到更一般的几何,即绝对几何)。
从另一方面讲,欧几里得几何的五条公理(公设)并不完备。例如,该几何中的定理:在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造:以线段为半径,分别以线段的两个端点为圆心作圆,将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而,他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此,许多公理系统的修订版本被提出,其中有希尔伯特公理系统。
欧几里得还提出了五个“一般概念”,也可以作为公理。当然,之后他还使用量的其他性质。
与同一事物相等的事物相等。
相等的事物加上相等的事物仍然相等。
相等的事物减去相等的事物仍然相等。
一个事物与另一事物重合,则它们相等。
整体大于局部。
现代方法
如今,欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法,而是通过解析几何。通过这种方法,可以像证明定理一样证明欧几里得几何(或非欧几里得几何)中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮,但绝对简练。
构造
首先,定义“点的集合”为实数对(x,y){\displaystyle (x,y)}的集合。给定两个点P=(x,y){\displaystyle P=(x,y)}和Q=(z,t){\displaystyle Q=(z,t)},定义距离:
这就是“欧几里得度量”。所有其他概念,如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如通过点P{\displaystyle P}和Q{\displaystyle Q}的直线可以定义成点的集合A{\displaystyle A}满足
经典定理
塞瓦定理
梅涅劳斯定理
托勒密定理
海伦公式
九点圆
勾股定理
蝴蝶定理
参见
非欧几里得几何
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