公理描述

欧几里得证明的要素，由于一个正三角形的存在必须包含每个线段，包含ΑΒΓ等边三角形的构成，是由Α和Β两点，画出圆Δ与圆Ε，并且交叉于第三点Γ上。

欧几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。

欧几里得平面几何的五条公理（公设）是：

从一点向另一点可以引一条直线。

任意线段能无限延伸成一条直线。

给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

所有直角都相等。

若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：

平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不能被证明的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何）。

从另一方面讲，欧几里得几何的五条公理（公设）并不完备。例如，该几何中的定理：在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。

欧几里得还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。

与同一事物相等的事物相等。

相等的事物加上相等的事物仍然相等。

相等的事物减去相等的事物仍然相等。

一个事物与另一事物重合，则它们相等。

整体大于局部。

现代方法

如今，欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何（或非欧几里得几何）中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。

构造

首先，定义“点的集合”为实数对(x,y){\displaystyle (x,y)}的集合。给定两个点P=(x,y){\displaystyle P=(x,y)}和Q=(z,t){\displaystyle Q=(z,t)}，定义距离：

这就是“欧几里得度量”。所有其他概念，如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如通过点P{\displaystyle P}和Q{\displaystyle Q}的直线可以定义成点的集合A{\displaystyle A}满足

经典定理

塞瓦定理

梅涅劳斯定理

托勒密定理

海伦公式

九点圆

勾股定理

蝴蝶定理

参见

非欧几里得几何

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