叙述

经典形式

设p是一个大于等于1的实数，n是一个正整数。Ω Ω -->{\displaystyle \Omega } 是n维欧几里得空间Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}上的一个子集开子集，并且其边界是满足利普希兹条件的区域（也就是说它的边界是一个利连续函数续函数的图像）。在这种情况下，存在一个只与Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }常数p有关的常数C，使得对索伯列夫空间W1,p(Ω Ω -->){\displaystyle \mathbb {W} ^{1,p}(\Omega )} 中所有的函数u，都有：

其中的∥ ∥ -->⋅ ⋅ -->∥ ∥ -->Lp{\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}}} 指的是Lp空间之中的范数，

是函数u在定义域Ω Ω -->{\displaystyle \Omega } 上的平均值，而|Ω Ω -->|{\displaystyle |\Omega |}指的是区域Ω Ω -->{\displaystyle \勒贝格测度 } 的勒贝格测度。

推广

在其他的索伯列夫空间上也有与庞加莱不等式类似的结果。比如说，定义空间H(T)是单位环面T上的Lp空间中傅里叶变换û满足

[u]H1/2(T2)2=∑ ∑ -->k∈ ∈ -->Z2|k||u^ ^ -->(k)|2:{\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}

的函数u所构成的空间，那么存在一个常数C，使得对于每个H(T)中的函数u，如果它在单位环面T的某个开子集上恒等于零，那么就有

∫ ∫ -->T2|u(x)|2dx≤ ≤ -->C(1+1cap(E× × -->{0}))[u]H1/2(T2)2,{\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\mathrm {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},}

其中的cap(E× × -->{0}){\displaystyle \mathrm {cap} (E\times \{0\})} 指的是E× × -->{0}{\displaystyle E\times \{0\}}作为一个R中的子集的调和容度。

庞加莱常数

以上不等式中的常数C的最优值被称为区域Ω Ω -->{\displaystyle \Omega } 中的庞加莱常数。确定一个区域的庞加莱常数通常是一个困难的工作，与常数p的值以及区域Ω Ω -->{\displaystyle \Omega } 的几何性质有关。在某些特定的条件下，比如已知区域Ω Ω -->{\displaystyle \Omega } 是一个直径的凸区域，并且直径是d，那么当p=1的时候，庞加莱常数至多等于d2{\displaystyle \scriptstyle {\frac {d}{2}}}。而当p=2的时候，庞加莱常数至多等于dπ π -->{\displaystyle \scriptstyle {\frac {d}{\pi }}}。这是只包含直径d的最佳估计。在维数是一维的时候，有沃廷格函数不等式。

然而，在特殊情况下，庞加莱常数C可以被完全确定。例如，当p=2，区域是单位等腰直角三角形的时候，可以得出庞加莱常数C=1π π -->{\displaystyle \scriptstyle C={\frac {1}{\pi }}}，这个值严格小于估计dπ π -->{\displaystyle \scriptstyle {\frac {d}{\pi }}}，因为这时d=2{\displaystyle \scriptstyle {d={\sqrt {2}}}}。

参见

索博列夫不等式

参考来源

Evans, Lawrence C., Partial differential equations, Providence, RI: American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 

Fumio, Kikuchi; Xuefeng, Liu, Estimation of interpolation error constants for the P0 and P1 triangular finite elements, Comput. Methods. Appl. Mech. Engrg., 2007, 196: 3750–3758, doi:10.1016/j.cma.2006.10.029 MR2340000

Payne, L. E.; Weinberger, H. F., An optimal Poincaré inequality for convex domains, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1960: 286–292, ISSN 0003-9527 

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