四元玉鉴-族谱新闻-族谱网

四元玉鉴

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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卷首四元自乘演段图(x+y+z+w)2=x2+y2+z2+w2+2xy+2xz+2xw+2yz+2yw+2zw{displaystyle(x+y+z+w)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+2xy+2xz+2xw+2yz+2yw+2zw}立四元:自乘得：a勾b股c弦一气混元本

卷首

四元自乘演段图

( x + y + z + w ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 + 2 x y + 2 x z + 2 x w + 2 y z + 2 y w + 2 z w {\displaystyle (x+y+z+w)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+2xy+2xz+2xw+2yz+2yw+2zw}

立四元:

自乘得：

a 勾 b 股 c 弦

一气混元

本节阐明天元术。

根据条件黄方乘直积得二十四步

b + c = 9 {\displaystyle b+c=9} x = a {\displaystyle x=a} (立天元一为勾) 由此得方程

解之，得勾=3

两仪化元

本节阐明二元术。

天地配合求解得

又根据所给条件得

由此得：

及

相消得

解之，得 x = 4 {\displaystyle x=4} 。

三才运元

本节阐明三元术

朱世杰在《三才运元》一节，比较详细的阐述逐次消元法，受到国内外学者的重视。

：得到

三元式与云式相消，

人天易位人弦-->天勾

得：

及

相消得

解之得 x = 5 {\displaystyle x=5} 天勾=5；

人天易位天勾-->人弦

得弦=五步。

四象会元

本节阐明四元术。

四象会元

得四元方程

消元，物易天位

解之，

物易天位，得十四步。

卷上

混积问元

直段求源

一十八问。

第十八问：

立天元一为开方数，得：

16 ∗ ∗ --> x 1 0 − − --> 64 ∗ ∗ --> x 9 + 160 ∗ ∗ --> x 8 − − --> 384 ∗ ∗ --> x 7 + 512 ∗ ∗ --> x 6 − − --> 544 ∗ ∗ --> x 5 + 456 ∗ ∗ --> x 4 + 126 ∗ ∗ --> x 3 + 3 ∗ ∗ --> x 2 − − --> 4 ∗ ∗ --> x − − --> 177162 = 0 {\displaystyle 16*x^{1}0-64*x^{9}+160*x^{8}-384*x^{7}+512*x^{6}-544*x^{5}+456*x^{4}+126*x^{3}+3*x^{2}-4*x-177162=0}

解之得 x=3，乘四得12，即平数。

混积问元

十八问

端匹互隐

九问

廪粟回求

六问

商功修筑

七问

和分索隐

一十三问。

卷中

今有圆城

如意混和

二问

方圆交错

九问

三率究圆

一十四问

圆面积 A = π π --> r 2 = 49 + 239 / 314 {\displaystyle A=\pi r^{2}=49+239/314}

圆周 x = 2 π π --> r {\displaystyle x=2\pi r}

圆周率 π π --> {\displaystyle \pi } 取徽率 3927 / 1250 {\displaystyle 3927/1250}

得下列方程：

25 x 2 − − --> 15625 = 0 {\displaystyle 25x^{2}-15625=0}

即 x = 25 {\displaystyle x=25} .

明积演段

二十问

勾股测望

八问

立天元一为邑长之半，得四次方程：

x 4 + 480 ∗ ∗ --> x 3 − − --> 270000 ∗ ∗ --> x 2 + 15552000 ∗ ∗ --> x + 1866240000 = 0 {\displaystyle x^{4}+480*x^{3}-270000*x^{2}+15552000*x+1866240000=0} 。

解之得 x=240步，邑长=2x= 480b步=1里120步。

同理，令天元一为邑阔之半

得方程：

x 4 + 360 ∗ ∗ --> x 3 − − --> 270000 ∗ ∗ --> x 2 + 20736000 ∗ ∗ --> x + 1866240000 = 0 {\displaystyle x^{4}+360*x^{3}-270000*x^{2}+20736000*x+1866240000=0} 。

解之得 x=180步，邑长=360步=一里。

或问歌彖

一十二问

茭草形段

七问

箭积交参

七问

拔换截田

一十九问

如像招数

五问。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式：

先求出上差（一次差），二差（二次差），三差（三次差）和下差（四次差），然后求出答案，是四次插值法（招差术)的运用

招兵总数=

n ∗ ∗ --> a + 1 2 ∗ ∗ --> 1 ∗ ∗ --> n ∗ ∗ --> ( n − − --> 1 ) ∗ ∗ --> b + 1 3 ∗ ∗ --> 2 ∗ ∗ --> 1 ∗ ∗ --> n ∗ ∗ --> ( n − − --> 1 ) ∗ ∗ --> ( n − − --> 2 ) ∗ ∗ --> c {\displaystyle n*a+{\frac {1}{2*1}}*n*(n-1)*b+{\frac {1}{3*2*1}}*n*(n-1)*(n-2)*c}

+ 1 4 ∗ ∗ --> 3 ∗ ∗ --> 2 ∗ ∗ --> 1 n ∗ ∗ --> ( n − − --> 1 ) ∗ ∗ --> ( n − − --> 2 ) ∗ ∗ --> ( n − − --> 3 ) ∗ ∗ --> d {\displaystyle +{\frac {1}{4*3*2*1}}n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*d} 。

其中

a=上差

b=二差

c=三差

d=下差

卷下

果垛叠藏

二十问此章论述三角垛、三角撒星垛、四角垛、圆锥垛、刍童垛、刍甍垛。

第一问：

三角垛级数： 1 + 3 + 6 + 10 + . . . + {\displaystyle 1+3+6+10+...+} 1 2 {\displaystyle 1 \over 2} n ( n + 1 ) {\displaystyle n(n+1)}

三角垛自上而下，每边的果子数是：

1，2，3，4，5，6....n.

自上而下，每个果子值钱：

2，3，4，5，6.....(n+1}

三角果子垛价值V由下列级数表示

v = 2 + 9 + 24 + 50 + 90 + 147 + 224 + {\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+} ………… 1 2 {\displaystyle 1 \over 2} n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle n(n+1)^{2}}

这是一个已知级数和，倒求 n 的数学问题。

朱世杰用天元术，令天元一为每底边的果子数（x=n)

朱世杰用的求和公式： v = {\displaystyle v=} 1 2 ∗ ∗ --> 3 ∗ ∗ --> 4 {\displaystyle 1 \over 2*3*4} ( 3 x + 5 ) ∗ ∗ --> x ∗ ∗ --> ( x + 1 ) ∗ ∗ --> ( x + 2 ) {\displaystyle (3x+5)*x*(x+1)*(x+2)}

今 v = 1320 {\displaystyle v=1320} 得

3 ∗ ∗ --> x 4 + 14 x 3 + 21 x 2 + 10 x − − --> 31680 = 0 {\displaystyle 3*x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0}

解之，得 x = n = 9 {\displaystyle x=n=9} 。

v = 2 + 9 + 24 + 50 + 90 + 147 + 224 + 324 + 450 = 1320 {\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320} 。

锁套吞容

一十九问

方程正负

八问

杂范类会

一十三问

两仪合辙

一十二问。用天地二元。