基本解释等距同构是一种事物在事件间的时空轨迹上的移动方式，而这样做是不会影响原时的。例如，所有事件被延后了两小时，而这两小时中包括了两项事件，以及你从事件一到事件二的路径，那么你的计时器所量度出的，两事件间的时间间距会是一样的。又例如，所有事物被移到西边五公里外的地方，那么你所量度出的时间间距也不会改变。而这种移动的结果是不会影响棍子长度的。如果我们无视重力效应的话，那么一共有十种移动方式：在时间上的平移，在三维空间中任一维上的平移，在三条空间轴上任一条的（定角）旋转，或三维任一方向上的直线性洛伦兹变换，因此是1+3+3+3=10。如果将这种等距同构结合起来（即执行一个之后再执行另一个），那么所得的结果也会是等距同构（然而，这一般来说只限于上述十种基本移动之间的线性组合）。这些等距同构因此形成了一个群。也就是说，它们当中存在单位元（即不移动，停留在原先的地方）及逆元（将事物移动回原先的位置...

黎曼曲面上的度量概要复平面上的度量可写成一般形式这里λ是z与z¯¯-->{\displaystyle{\overline{z}}}的一个实正函数。复平面上曲线γ的长度为复平面上子集M之面积是这里∧∧-->{\displaystyle\wedge}是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于λλ-->4{\displaystyle\lambda^{4}}，故而行列式的平方根是λλ-->2{\displaystyle\lambda^{欧几里得复平面上的欧几里得体积形式为dx∧∧-->dy{\displaystyledx\wedgedy}，从而我们有函数ΦΦ-->(z,z¯¯-->){\displaystyle\Phi(z,{\overline{z}})}称为度量的势能（potentialofthemetric），如果拉普拉斯–贝尔特拉米算子为度量的高斯曲...

基本描述在1900年，庞加莱曾声称，用他基于恩里科·贝蒂的工作而发展出的同调论，可以判定一个三维流形是否三维球面。不过，他在1904年发表的一篇论文中，举出了一个反例，现在称为庞加莱同调球面，与三维球面有相同的同调群。他引进了一个新的拓扑不变量，称为基本群，并且证明他的反例与三维球面的基本群不同。三维球面有平凡基本群，也就是说是单连通的。他提出以下猜想：上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个柳橙表面的橡皮筋，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮筋以适当的方向被伸缩在一个甜甜圈表面上，那么不扯断橡皮筋或者甜甜圈，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。我们说，柳橙表面是“单连通的”，而甜甜圈表面则不是。该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“...

庞加莱，1854年出生于法国，是著名的数学家，天体学家，数学物理学家。庞加莱研究的主要有数论，代数学，几何学，多复变函数论等等。他在数学方面取得的巨大成就对现代数学都产生了重要影响，那么，庞加莱关于数学创造有什么内容呢?提及庞加莱关于数学创造，就不得不说起组合拓扑学。他曾在6篇论文里创造了组合拓扑学，并且，通过引进贝蒂数、挠系数和基本群等一些概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等工具，并且凭借这些概念成立了欧拉—庞加莱公式，并对流形的同调对偶定理进行了证明。除此之外，庞加莱对数学方面的创造还表现在数学物理和偏微分方程方面所取得的成就。庞加莱使用括去法(sweepingout)证明了狄利克雷问题解的存在。让人感到惊喜的是，后来竟然推动位势论发展到了一个新的阶段。在1881～1886年，庞加莱发表四篇论文，内容是关于微分方程所确定的积分曲线，从而创立...

叙述经典形式设p是一个大于等于1的实数，n是一个正整数。ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}是n维欧几里得空间Rn{\displaystyle\mathbb{R}^{n}}上的一个子集开子集，并且其边界是满足利普希兹条件的区域（也就是说它的边界是一个利连续函数续函数的图像）。在这种情况下，存在一个只与ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}常数p有关的常数C，使得对索伯列夫空间W1,p(ΩΩ-->){\displaystyle\mathbb{W}^{1,p}(\Omega)}中所有的函数u，都有：其中的∥∥-->⋅⋅-->∥∥-->Lp{\displaystyle\|\cdot\|_{L^{p}}}指的是Lp空间之中的范数，是函数u在定义域ΩΩ-->{\displaystyle\Omega}上的平均值，而|ΩΩ-->...