简史

几何 一词源于《几何原本》的翻译。《几何原本》是世界数学史上影响最为久远，最大的一部数学教科书。《几何原本》传入中国，首先应归功于明末科学家徐光启。徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献是确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。“几何”的原文是“geometria”（英文geometry），徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音为“几何”（明朝音：gi-ho），而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“几何”译“geometria”（英文geometry），音义兼顾，确是神来之笔。几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。这些译名一直流传到今天，且东渡到汉字文化圈的日本、朝鲜等国（越南语则使用独自翻译的越制汉语“ 形學 （ hình học ）”一词），影响深远。

几何学开始的最早记录可以追踪到公元前2世纪的古代埃及和美索不达米亚。 早期的几何学是有关长度、角度、面积和体积的经验性定律的收集，这些都是因为实际需要（比如勘探、建筑、天文和一些手工业）而发展的。最早的已知有关几何学的文本是埃及的莱因德纸草书 （公元前2000-1800年）和 莫斯科数学纸草书 （ 英语 ： Moscow Mathematical Papyrus ） （Moscow Mathematical Papyrus） （约公元前1890年），以及古巴比伦的泥石板（比如“普林顿 322”（公元前1900年）)。比如，莫斯科纸草书上给出了如何计算棱台体积的公式。 埃及南部的古代努比亚人曾经建立了一套几何学系统，包括有太阳钟的早期版本。

几何学有悠久的历史。最古老的欧氏几何基于一组公设和定义，人们在公设的基础上运用基本的逻辑推理构做出一系列的命题。可以说，《几何原本》是公理化系统的第一个范例，对西方数学思想的发展影响深远。

一千年后，笛卡儿在《方法论》的附录《几何》中，将坐标引入几何，带来革命性进步。从此几何问题能以解析式的形式来表达。

欧几里得几何学的第五公设，由于并不自明，引起了历代数学家的关注。最终，由罗巴切夫斯基和黎曼建立起两种非欧几何 。

几何学的现代化则归功于克莱因、希尔伯特等人。克莱因在普吕克的影响下，应用群论的观点将几何变换视为特定不变量约束下的变换群。而希尔比特为几何奠定了真正的科学的公理化基础。应该指出几何学的公理化，影响是极其深远的，它对整个数学的严密化具有极其重要的先导作用。它对数理逻辑学家的启发也是相当深刻的。

古代几何学

几何最早的有记录的开端可以追溯到古埃及（参看古埃及数学），古印度（参看古印度数学），和古巴比伦（参看古巴比伦数学），其年代大约始于前3000年。早期的几何学是关于长度，角度，面积和体积的经验原理，被用于满足在测绘，建筑，天文，和各种工艺制作中的实际需要。在它们中间，有令人惊讶的复杂的原理，以至于现代的数学家很难不用微积分来推导它们。例如，埃及和巴比伦人都在毕达哥拉斯之前1500年就知道了毕达哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱锥的锥台（截头金字塔形）的体积的正确公式；而巴比伦有一个三角函数表。

名称的来历

几何这个词最早来自于希腊语“ γεωμετρία ”，由“ γέα （ 希臘語 ： γέα ） ”（土地）和“ μετρεĭν （ 希臘語 ： μετρεĭν ） ”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时，由徐光启所创。当时并未给出所依根据，后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译，另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容，也可能是magnitude（多少）的意译，所以一般认为几何是geometria的音、意并译。用“几何”的音来表达，关于数与量的，用“几何”的义来表达。换句话说，徐光启心目中的“几何”，可能就是今天我们所谓的“数学”。所以他为译本所取的名字，以今日用语再翻译一次，就是：《基础数学》。所以如果了解《几何原本》为《基础数学》，它当然会包含像辗转相除法这样的课题。希腊语GEO+METRY按照字源意思是“地理测算”的意思，所以依照字面意思对照现代分类相当于测算学，分平面测算学与立体测算学。

1607年出版的《几何原本》中关于几何的译法在当时并未通行，同时代也存在着另一种译名——“ 形学 ”，如狄考文、邹立文、刘永锡编译的《形学备旨》，在当时也有一定的影响。在1857年李善兰、伟烈亚力续译的《几何原本》后9卷出版后，几何之名虽然得到了一定的重视，但是直到20世纪初的时候才有了较明显的取代形学一词的趋势，如1910年《形学备旨》第11次印刷成都翻刊本徐树勋就将其改名为《续几何》。直至20世纪中期，已鲜有“形学”一词的使用出现。

分类

实务几何学

毕氏定理(3, 4, 5)三角形的图像化证明，记载在公元前500-200年的《周髀算经》中

几何学起源于一些实务上有关量测、面积及体积的科学。在许多方面都已找到相当的公式，例如毕氏定理、圆的周长及面积、三角形的面积、圆柱、球及四角锥的体积等。泰勒斯发展了以几何物件的相似为基础，计算一些无法直接量测的高度或距离的方法。天文学的发展也带来三角学及球面三角学的诞生，也有一些对应的计算技巧。

公理化几何学

欧几里德平行公设的说明

欧几里德在所著的《几何原本》中作了更抽象化的处理。欧几里德引入了一些公理来说明点、线和面一些基本的或是可自证的性质。接着再用数学的思考再去推导其他的性质。几何原本中的推导以其严谨性著称，称为公理化几何。在十九世纪初时，尼古拉·罗巴切夫斯基（1792–1856）、鲍耶·亚诺什（1802–1860）及卡尔·弗里德里希·高斯（1777–1855）发展了非欧几何，其他数学家开始再度对此一领域有兴趣。二十世纪的大卫·希尔伯特试图用公理化的理解为几何学提供现代的基础。

几何建构

古典的几何学家花了许多心力要绘制定理中绘述的几何物件。传统上，可以使用的工具是圆规及没有刻度的直尺，需要在有限次数的绘制内完成图形。有些图形很难（甚至无法）单纯用尺规作图求得，需要配合抛物线、其他曲线或是机械工具才能完成。

几何中的数

毕达格拉斯发现三角形的三边可能会有不可通约性

古希腊的毕达格拉斯就已考虑过数字在几何中的角色。不过因为不可通约长度的出现，不符合他的哲学观点，因此他们放弃抽象的几何量，改用实际上的几何量，例如图案的长及面积。后来勒内·笛卡儿利用坐标系再让数字和几何连结，笛卡儿也发现根据一图示的代数表现可以知道此形状，后来笛卡儿用的坐标系就称为笛卡儿坐标系。

当代的几何学

欧几里德几何

4 21 多胞形 （ 英语 ： 4 21 polytope ） 在 E 8 （ 英语 ： E8 (mathematics) ） 李群 考克斯特元素 （ 英语 ： Coxeter plane ） 下的正交投影

欧几里德几何和计算几何、计算机图形、 凸几何 （ 英语 ： convex geometry ） 、关联几何、有限几何学、 离散几何学 （ 英语 ： discrete geometry ） ，以及组合数学中的部分领域都有密切关系。欧几里德几何和欧几里德群在晶体学上的进展和哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特的研究已受到注意，可以在考克斯特群及多胞形的理论中看到。 几何群论 （ 英语 ： Geometric group theory ） 是将几何学延伸到离散群中，有关其几何结构及代数技术的研究。

微分几何

微分几何因着爱因斯坦的广义相对论假设有曲率的宇宙，因此逐渐受到数学物理的重视。现代的微分几何是本质性的，将空间视为是微分流形，其几何结构则由黎曼流形处理，包括如何量测二点之间的距离等。不再只是欧几里德几何中先验的一部分。

拓扑学和几何学

较粗的三叶结

拓扑学是 转换几何 （ 英语 ： transformation geometry ） 中的一部分，专注在同胚的转换，拓扑学在二十世纪有显著的进展，简单来说，拓扑学可以说是“橡皮下的几何学”。当代的几何拓扑学、微分拓扑，以及像莫尔斯理论等子领域，被大部分数学家视为是几何学的一部分。代数拓扑和点集拓扑学则被视为是另一个新的领域。

解析几何

五维卡拉比－丘流形

解析几何是欧几里德几何的现代版本，从1950年代末到1970年代中有大幅的进展，主要是因为让-皮埃尔·塞尔及亚历山大·格罗森迪克的贡献，这也产生了概形以及代数拓扑学一些方法的重视，包括许多的 上同调理论 （ 英语 ： cohomology theory ） 。千禧年大奖难题中的霍奇猜想就是解析几何学的问题。

低维度代数簇、代数曲线及 代数曲面 （ 英语 ： algebraic surface ） 的研究以及三维代数簇（algebraic threefolds）的研究都有很多进展。 Gröbner基 （ 英语 ： en:Gröbner basis ） 理论及 实代数几何 （ 英语 ： real algebraic geometry ） 应用在现在解析几何的一些子领域中。算术几何（Arithmetic geometry）是结合了解析几何及数论的一个新的领域。另外一个研究方向是模空间及 复几何 （ 英语 ： Complex geometry ） 。代数几何的方法广泛的用在弦理论及膜宇宙理论中。

分支学科

平面几何

立体几何

非欧几何

解析几何

射影几何

仿射几何

代数几何

微分几何

计算几何

拓扑学

分形几何，又称碎形几何

相关条目

画法几何

平面国，埃德温·A·艾勃特的小说，有提到二维空间及三维空间

动态几何软件

三角学

几何学家列表

数学著作列表

其他领域

分子结构

参考文献

《世界数学史简编》，梁宗巨，1981年，辽宁人民出版社，第90页~第92页

卡尔·本杰明·波耶 （ 英语 ： Carl Benjamin Boyer ） （Carl Benjamin Boyer） A History of Mathematics , 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989 ISBN 978-0-471-09763-1 (1991 pbk ed. ISBN 978-0-471-54397-8).

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