弱等效原理

弱等效原理原是 指观测者不能在局部的区域内分辨出由加速度所产生的惯性力或由物体所产生的引力 ，而它是由引力质量与惯性质量成正比例这一事实推演出来，这个关系首先是由伽利略及牛顿用一系列的实验断定出来。

伽利略及牛顿的实验

早在17世纪，伽利略已利用物体从斜面滚下不同的距离所需要的时间，去证明物体于地球上的自由下落的加速度是一个常量；另外，伽利略亦发现单摆的周期只与摆长有关，而与摆锤的质料无关。稍后的牛顿则做了两个等长而同形状的单摆，其中一个的摆锤是用金做的；而另一个摆锤用等重的银、铅、玻璃、沙等不同物料制成。而牛顿在多次实验均未能观察到它们之间的周期差异。

从牛顿力学来说，质量本身被付予两种不同的意义：一个从动力学方程式（牛顿第二定律）引入：

F = m I a {\displaystyle \mathbf {F} =m_{I}\mathbf {a} }

m I {\displaystyle m_{I}\,} 是指惯性质量，代表着物体运动的惯性，即是物体抵抗运动变化的程度；另一方面，从牛顿万有引力定律：

F G = − − --> G M G m G r 2 e r = m G g {\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-G{M_{G}m_{G} \over r^{2}}\mathbf {e_{r}} =m_{G}\mathbf {g} }

可知 m G {\displaystyle m_{G}\,} 是代表物体引力大小的一个参数，称作引力质量。

至此可从定量分析去理解两种不同物理量的关系：

从斜面的落体运动分析，可知

m I a = m G g sin ⁡ ⁡ --> θ θ --> {\displaystyle m_{I}\mathbf {a} =m_{G}\mathbf {g} \sin \theta }

a = ( m G m I ) g sin ⁡ ⁡ --> θ θ --> {\displaystyle \mathbf {a} =\left({\frac {m_{G}}{m_{I}}}\right)\mathbf {g} \sin \theta }

由于实验结果是：自由下落的加速度是一个常量，所以：

m I = m G {\displaystyle m_{I}=m_{G}\,}

但这个实验的精确度不及单摆那么高，从小幅单摆的分析可知：

m I l θ θ --> ¨ ¨ --> = m G g θ θ --> {\displaystyle m_{I}l{\ddot {\theta }}=m_{G}g\theta }

θ θ --> ¨ ¨ --> = ( m G m I ) ( g l ) θ θ --> {\displaystyle {\ddot {\theta }}=\left({\frac {m_{G}}{m_{I}}}\right)\left({\frac {g}{l}}\right)\theta }

则周期 T {\displaystyle T\,} 则表示为：

T = 2 π π --> m I l m G g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{I}l}{m_{G}g}}}}

由于实验的结果是：单摆的周期只与摆长有关，而与摆锤的质料无关；所以牛顿以 m G m I = 1 + O ( 10 − − --> 3 ) {\displaystyle {\frac {m_{G}}{m_{I}}}=1+O(10^{-3})\,} 的精确度于1680年接受了 m I = m G {\displaystyle m_{I}=m_{G}\,} 的结论。

在牛顿之后，厄阜于1890年25年间，以铂为基准用八种不同的材料去进行拢扭实验，去测量引力质量与惯性质量的比例与1的偏离，从实验的精确度，厄阜的结论是：

m G m I = 1 + O ( 10 − − --> 8 ) {\displaystyle {\frac {m_{G}}{m_{I}}}=1+O(10^{-8})\,}

到了1962年，迪克改进了厄阜拢扭实验之精确度至 10 − − --> 11 {\displaystyle 10^{-11}} ；到了1971年，布拉金斯基及潘洛夫等人又将实验之精确度推至 10 − − --> 12 {\displaystyle 10^{-12}} 。此外还有别的科学家用实验测定了原子和原子核的结合能所对应的引力质量与惯性质量之比，亦没有发现对1之偏离（虽精确度不及厄阜拢扭实验）。因此，在目前的精确度甚高之下，可证实：

m I = m G {\displaystyle m_{I}=m_{G}\,}

从两种质量的观念上来说，他们是本质不同的物理量；但如果两者的值之比例对一切物体相同，在实用上可把他们当同一个量来对待（即是物体的质量），这就是引力质量与惯性质量成正比例；在适当的单位制下，即令比例常数成为1，引力质量与惯性质量相等。

爱因斯坦的思想实验

自牛顿至爱因斯坦的200余年间，人们对引力质量及惯性质量相等的事只是当成偶然的事件，并没有深刻去研究，直至爱因斯坦完成狭义相对论后，要处理引力理论和相对性原理的调和问题，方始注意。爱因斯坦曾说：

引力场中一切物体都具有同一的加速度，这条定律也可表述为惯性质量同引力质量相等，它当时就使我认识到它的全部重要性。我为它的存在感到极为惊奇，并且猜想其中必有一把可以更深入了解惯性和引力的钥匙。

爱因斯坦用一个思想实验来说明：在遥远的宇宙深处（惯性参考系），有一个密封的太空船在 + z {\displaystyle +z} 方向向上加速，其加速度为 9.8 m s − − --> 2 {\displaystyle 9.8ms^{-2}} ，假设密封的太空船内有一个太空人及一个铅球，该太空人在太空船内拿起一块铅球，他感受到铅球有重量；不单如此，他自己亦感受到自身有重量，他认为这有两个可能性：一是太空船在太空中正在 + z {\displaystyle +z} 方向向上（相对于太空人）加速，虽然附近没有任何星球或重力场，太空人仍会感觉到因铅球及自身的惯性关系有下坠的倾向，这就是惯性力。另一个可能性是太空船可能停在一颗行星上，其强度场强度是 9.8 N k g − − --> 1 {\displaystyle 9.8Nkg^{-1}} ，它利用万有引力来拉扯著铅球及自己，使他感到铅球及自己的重量。

另一个思想实验是：在大厦内的电梯不幸地断了钢索，电梯正以加速度 9.8 m s − − --> 2 {\displaystyle 9.8ms^{-2}} 向下加速，假设电梯槽无限长，电梯内有乘客及一个铅球，里面的乘客可观察到铅球及自己会浮在半空，即是“失重”。他认为这有两个可能性：一是电梯在电梯槽中正在 − − --> z {\displaystyle -z} 方向向上（相对于电梯槽）加速，乘客及铅球正跟着电梯加速。另一个可能性是电梯可能在遥远的宇宙深处，其引力场强度是 0 N k g − − --> 1 {\displaystyle 0Nkg^{-1}} ，没有万有引力来拉扯著铅球及自己，使他感受不到铅球及自己的重量；由于乘客认为没有任何力施加在自己及铅球上，所以加速度为 0 m s − − --> 2 {\displaystyle 0ms^{-2}} ，是惯性参考系。

现在可从定量的分析去讨论上述两种情况，从第一个思想实验可知：

R = m I a {\displaystyle \mathbf {R} =m_{I}\mathbf {a} } （从太空船外）

0 = R − − --> m G g ′ ′ --> {\displaystyle \mathbf {0} =\mathbf {R} -m_{G}\mathbf {g} ^{\prime }} （从太空船内）

由于 m I = m G {\displaystyle m_{I}=m_{G}\,} 及 a = g ′ ′ --> {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {g} ^{\prime }\,} ，所以法向反作用力 R {\displaystyle \mathbf {R} \,} 相同，密封太空船内的太空人不可能分辨出重力所做成的重量或由惯性做出的“重量”。

由第二个思想实验可知：

m I a = m G g {\displaystyle m_{I}\mathbf {a} =m_{G}\mathbf {g} } （从电梯外）

a ′ ′ --> = 0 {\displaystyle \mathbf {a} ^{\prime }=\mathbf {0} } 及 g ′ ′ --> = 0 {\displaystyle \mathbf {g} ^{\prime }=\mathbf {0} } （从电梯内）

由于 m I = m G {\displaystyle m_{I}=m_{G}\,} 及法向反作用力 R = 0 {\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {0} \,} （任何物体没有与电梯接触），电梯内的乘客不可能分辨出加速度所抵消的引力场强度（假惯性参考系）或由真正为零的引力场强度及加速度（真惯性参考系）。

由此可见，无论任何动力学方法，只要有 m I = m G {\displaystyle m_{I}=m_{G}\,} ，是不能分辨引力场强度及加速度的动力学效应；甚至或是 惯性参考系和非惯性参考系的动力学效应都是不能分辨，其中的两类观察者都是能用各自的方式去正碓描述事实，所以这两种分析方法是等效的 ，这就是弱等效原理。

引力、惯性、狭义相对论及弱等效原理

弱等效原理的论证，一直只是用经典力学的方法去尝试分辨惯性参考系和非惯性参考系，并没有提及用其他方法，如电磁学方法；另外，惯性质量及重力质量的关系能否再用狭义相对论的方式再验证一次？毕竟只用上述方法是不足以说明在经典力学不适用的情形下惯性质量及重力质量依然有比例的关系。爱因斯坦于是利用质能关系 E = m I c 2 {\displaystyle E=m_{I}c^{2}\ } 去说明在相对论的效果被考虑的情形下，若果假定一点的引力场（-z方向）及一点的加速参考系（+z方向）的物理学效应完全一样，那么不但惯性质量及引力质量依然有比例的关系，而且时间、空间都受到引力场的影响。

爱因斯坦的论证如下：设两个备有量度仪器的物质体系 S1 和 S2，位于存在重力的惯性参考系 K 之 z 轴上，彼此相隔为 h {\displaystyle h\,} m ，令 S2 的引力势比 S1 大 g h {\displaystyle gh\,} m s （即是 S1 比 S2 更近引力源）。有一定的能量 E {\displaystyle E\,} 以辐射形式从 S2 发射到 S1。这时可利用量度仪器去量度 S1 和 S2 的能量，将这些装置带到 z轴的同一位置之上去进行比较，结果理应完全一样。但我们不能先验地论断引力场对于辐射传递能量的过程没有影响。但我们可以用一个均加速、没有引力的参考系 K" 去代替存在重力的惯性参考系 K 去进行测量。我们用 K" 相对一个没有加速的 K O 去运动，去分析由 S2 辐射能量至 S1 的过程。当 S2 辐射能量至 S1 的瞬间，设 K" 相对于 K O 的速度为 0，当时间过去了 h c {\displaystyle {h \over c}\,} ，辐射会到达 S1 而 K" 相对于 K O 的速度为 v = g h c {\displaystyle v=g{h \over c}\,} ，根据狭义相对论和多普勒效应， S1 所得到的能量不是 E 2 {\displaystyle E_{2}\,} 而是比 E 2 {\displaystyle E_{2}\,} 大的 E 1 {\displaystyle E_{1}\,} 。因为K"做均加速运动，根据狭义相对论，当物体的速度越接近光速，越难加速，因此正在做均加速运动的K"的速度必定远小于光速。E 1 和E 2 的关系是

E 1 = E 2 γ γ --> ( 1 + v c ) = E 2 γ γ --> ( 1 + g h c 2 ) {\displaystyle E_{1}=E_{2}\gamma (1+{v \over c})=E_{2}\gamma (1+{gh \over c^{2}})\,}

由于K"的速度远小于光速， γ γ --> {\displaystyle \gamma } 近似于1，故E 1 和E 2 的关系为

E 1 = E 2 ( 1 + v c ) = E 2 ( 1 + g h c 2 ) {\displaystyle E_{1}=E_{2}(1+{v \over c})=E_{2}(1+{gh \over c^{2}})\,}

根据以上的假定，同样的过程发生在存在重力的惯性参考系 K 之上会有同样的效果，可用引力势差 − − --> Δ Δ --> Φ Φ --> > 0 {\displaystyle -\Delta \Phi >0\,} 去代替 g h {\displaystyle gh\,} ，只要设 S1 关于引力的任意常数为 0 即可，结果是

E 1 = E 2 − − --> E 2 c 2 Δ Δ --> Φ Φ --> {\displaystyle E_{1}=E_{2}-{E_{2} \over c^{2}}\Delta \Phi \,}

在式子中， E 1 {\displaystyle E_{1}\,} 比 E 2 {\displaystyle E_{2}\ } 多了 E 2 c 2 Δ Δ --> Φ Φ --> {\displaystyle {E_{2} \over c^{2}}\Delta \Phi \,} 的引力势能，而辐射本身就相当于多了一个引力质量 m G = E 2 c 2 {\displaystyle m_{G}={E_{2} \over c^{2}}\ } ，但由于 E = m I c 2 {\displaystyle E=m_{I}c^{2}\ } ，这个引力质量不但必与惯性质量有关，而且必需要相等。爱因斯坦再用以下的过程详细说明这一点：

把能量 E {\displaystyle E\,} （在 S2 量度出的）以辐射形式从 S2 发射至 S1 ，用上述之结果，可知 S1 吸收了能量 E ( 1 + g h c 2 ) {\displaystyle E(1+{gh \over c^{2}})\,} （在 S1 量度出的）。

把一个具有引力质量 m G {\displaystyle m_{G}\,} 的物体 W 从 S2 下降至 S1 ，这过程中 物体 W 向外作了功 m G g h {\displaystyle m_{G}gh\,} 。

当物体 W 在 S1 时，能量 E {\displaystyle E\,} 从 S1 输送至物体 W ，使物体 W 的引力质量增加至 m G ′ {\displaystyle m"_{G}\,} 。

把物体 W 升回至 S2 ，外界需要作功，其值即是 m G ′ g h {\displaystyle m"_{G}gh\,} 。

把能量 E {\displaystyle E\,} 从物体 W 送回至 S2 。

这个过程的结果只是能量在 S1 增加了 E ( g h c 2 ) {\displaystyle E({gh \over c^{2}})\,} ，而能量又以作功的形式 m G ′ g h − − --> m G g h {\displaystyle m"_{G}gh-m_{G}gh\,} 给出，所以

E ( g h c 2 ) = m G ′ g h − − --> m G g h {\displaystyle E({gh \over c^{2}})=m"_{G}gh-m_{G}gh\,}

或者

E c 2 = m G ′ − − --> m G {\displaystyle {E \over c^{2}}=m"_{G}-m_{G}\,}

引力质量的增加值等于能量的增加值，能量的增加值又要等于惯性质量的增加值。

其实这等效性可从参考系 K 及 K" 之间的等效性得出的：由于 K 中的引力质量完全等于 K" 中的惯性质量，因此能量本身必然有引力质量，其数值等于它的惯性质量。如果在 K" 中（即是均加速参考系）有一个物体，质量为 M 0 {\displaystyle M_{0}\,} 的挂在测力计上，由于物体的惯性，测力计会得出表观重量 M 0 g {\displaystyle M_{0}g\,} 。如果把能量 E {\displaystyle E\,} 附加至物体之上，测力计必然会得出表观重量 ( M 0 + E c 2 ) g {\displaystyle (M_{0}+{E \over c^{2}})g\,} 。根据假定，在参考系 K 中 （在均匀引力场中） 重作这个实验时，必然会有相同的结果。

所以， 惯性参考系和非惯性参考系的任何效应都是不能分辨，其中的两类观察者都是能用各自的方式去正碓描述事实；而非惯性参考系的效应可以归于惯性参考系中引力的效应，反之亦然，而这两种效应是等效的 。

弱等效原理、光的引力偏折与引力红移—时空弯曲的本质

从弱等效原理，可以推论出光的引力偏折及引力红移这二个经验的结果，并可证明用平直几何去描述存在引力的时空之不适用性。

光的引力偏折

假设有一个“静止”的电梯中的观察者看到外面射进去的光是直线进行的；当电梯向上加速时，他会发现光会沿向下的弯曲曲线行进，光沿向下的曲线弯曲是因为参考系被加速；由于等效原理成立，光在引力场中必然有相同的现象。

引力红移

再用刚才参考系的 K" 去说明，现在 S1 和 S2 分别换上了测定频率的装置，有一辐射的频率为 f 2 {\displaystyle f_{2}\,} 由 S2 向 S1 辐射，在 S1 其频率不会再是 f 2 {\displaystyle f_{2}\,} 而是较大的 f 1 {\displaystyle f_{1}\,} ，即是“蓝移”，并且

f 1 = f 2 ( 1 + v c ) = f 2 ( 1 + g h c 2 ) {\displaystyle f_{1}=f_{2}(1+{v \over c})=f_{2}(1+{gh \over c^{2}})\,}

因为我们可以再引入一个没有加速度的参考系 K O ，在辐射开始发射时， S1 相对 K O 的速度为 0；在辐射到达 S1 后， S1 相对 K O 的速度为 g h c {\displaystyle g{h \over c}\,} 。根据多普勒效应及狭义相对论，作一级近似，便会得到上述蓝移结果。 由于 K 及 K" 的等效性，可知这方程式对 K 参考系亦有效，只要这座标系中亦有这辐射输送过程。由此可知，一个辐射在 S2 于一定的引力势 Φ Φ --> 2 {\displaystyle \Phi _{2}\,} 之下发射至 S1 （引力势为 Φ Φ --> 1 {\displaystyle \Phi _{1}\,} ），引力势差为 Δ Δ --> Φ Φ --> = Φ Φ --> 1 − − --> Φ Φ --> 2 = − − --> g h < 0 {\displaystyle \Delta \Phi =\Phi _{1}-\Phi _{2}=-gh 1 = f 2 {\displaystyle T_{2}^{-1}=f_{2}\,} ，在 S1 所测得的频率为 f 1 = f 2 ( 1 − − --> Δ Δ --> Φ Φ --> c 2 ) {\displaystyle f_{1}=f_{2}(1-{\Delta \Phi \over c^{2}})\,} ，而周期为

T 1 = f 1 − − --> 1 = ( f 2 ( 1 − − --> Δ Δ --> Φ Φ --> c 2 ) ) − − --> 1 = T 2 ( 1 + Δ Δ --> Φ Φ --> c 2 ) {\displaystyle T_{1}=f_{1}^{-1}=(f_{2}(1-{\Delta \Phi \over c^{2}}))^{-1}=T_{2}(1+{\Delta \Phi \over c^{2}})\,}

即是在 S1 的周期比 S2 的周期短，由此可知靠近引力源的地方的时间比远离引力源的地方的时间慢。

其实蓝移及红移是相对的，如果辐射从 S1 向 S2 发射，便会得到红移的结果，习惯上会把这现象称为“引力红移”。

时空弯曲的本质

Schild 在 60 年代提出一个论据，等效原理的成立表明自洽的引力理论无法在狭义相对论的框架内完成。

他的证明如下：考虑一个观察者在地球表面上高 z 1 {\displaystyle z_{1}\,} 处，有另一个观察者在地球表面上高 z 2 = z 1 + h {\displaystyle z_{2}=z_{1}+h\,} 处彼此相对静止（即是上述的 S1 和 S2 ）。观察者可通过观察来得知彼此相对静止，并且他们相对于地球的洛仑兹参考系也是静止的。在这条件下在 S1 发出固有频率 f 1 {\displaystyle f_{1}\,} 的电磁讯号，在 S2 接收到，频率为 f 2 {\displaystyle f_{2}\,} ；为了识别讯号， S1 和 S2 的观察者约定讯号有 N {\displaystyle N\,} 个周期长的脉冲，则发射时所需的时间是 Δ Δ --> t 1 {\displaystyle \Delta t_{1}\,} 由 N = f 1 Δ Δ --> t 1 {\displaystyle N=f_{1}\Delta t_{1}\,} 定出。而在 S2 的接收者所需要的吸收时间 Δ Δ --> t 2 {\displaystyle \Delta t_{2}\,} 是由 N = f 2 Δ Δ --> t 2 {\displaystyle N=f_{2}\Delta t_{2}\,} 定出。由于根据引力红移： f 1 > f 2 {\displaystyle f_{1}>f_{2}\,} ，所以必然有 Δ Δ --> t 1 t 2 {\displaystyle \Delta t_{1} ，时间间隔也就不同了，而人们可在固定的 Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t\,} 后再发射多一次讯号。把这个情况用狭义相对论的时空图去分析，光在时空图沿 45° 的零线移动，在上述的情况下在时空图中已画了一个平行四边形，但它的对边不对等，即是 Δ Δ --> t 1 t 2 {\displaystyle \Delta t_{1} ；在平直时空中，这是不可能的。有人提出一个问题：既然光在引力场传播，光线必然弯曲，而不会沿 45° 的零线移动。但重要的是：引力场是静止的，质验者也没移动，所以实验中没有装置随时间变化，所以什么的光线移动的路径必然是全等的，结果仍是 Δ Δ --> t 1 t 2 {\displaystyle \Delta t_{1} 。即是该平行四边形无法合拢，如要合拢即要平行四边形“拱”起来，但在平直时空中是不可能的。

以上论证并未提供引力场所需的弯曲时空，但已说明了如果等效原理要成立，平直时空中要完成引力理论是不可能的；甚至是用全域的加速参考系去正确描述引力也是不可能的。

强等效原理

强等效原理是指 在时空区域的一点内的引力场可用相应的局域惯性参考系去描述，而狭义相对论在其局域惯性参考系中完全成立。

弱等效原理并不能推演出强等效原理，而只是强等效原理的一个抽象结果。利用广义相对论几何方式（时空度规张量、时空曲率张量）去描述引力（引力场强度、引力势）的基础即在此原理之上。由于引力场本身是与引力场源的距离有关，形成了引力场在时空分布中并不均匀，是不能用一个全域的加速参考系去描述，即是用一个全域的加速参考系去抵消各时空点上的引力。但每一点的引力场是有一个相应的引力场强度，可用有一个与之相等的加速度（相对于静止的观察者）的局域的加速参考系，亦即是局域惯性参考系（相对于加速的观察者）去描述，即是用一个局域的加速参考系去抵消各相应的时空点上的引力，然后将各个局域惯性参考系的关系统合起来（即是曲率和能动张量的关系），就可对全域的时空作抽述（例如运动定律）。

例如在狭义相对论中成立的能量-动量守恒定律有以下的形式：

T , ν ν --> μ μ --> ν ν --> = 0 {\displaystyle T_{,\nu }^{\mu \nu }=0\,}

在广义相对论中有以下的形式：

T ; ν ν --> μ μ --> ν ν --> = T , ν ν --> μ μ --> ν ν --> + Γ Γ --> ρ ρ --> ν ν --> μ μ --> T ρ ρ --> ν ν --> + Γ Γ --> ρ ρ --> ν ν --> ν ν --> T ρ ρ --> μ μ --> = 0 {\displaystyle T_{;\nu }^{\mu \nu }=T_{,\nu }^{\mu \nu }+\Gamma _{\rho \nu }^{\mu }T^{\rho \nu }+\Gamma _{\rho \nu }^{\nu }T^{\rho \mu }=0\,}

后两项可看作加速度或引力场对守恒定律的影响。

等效原理的实验验证

据说16世纪伽利略在意大利进行了著名的比萨斜塔实验,但未有人证明是否确有其事。数百年来，物理学家进行了众多实验对等效原理进行检验。1971年，执行阿波罗15号登月任务的宇航员大卫·斯科特在月球上当着电视摄像机的面，将锤子和羽毛同时扔出，两样东西同时掉到了月球表面。他喊到：“你们知道吗？伽利略先生是正确的。”

当代测量激光从月球反射回到地球的时间得到的结果是等效原理在10 的精度上成立。法国计划在2010年发射MICROSCOPE卫星，测量精度可达10 。意大利计划发射伽利略·伽利雷卫星（GG）将在10 的精度上对等效原理进行检验。斯坦福大学和一个国际研究小组合作的等效原理卫星检测（STEP）计划测量精度将达到10 。

参考文献

广义相对论的基础

参见

相对论

狭义相对论

广义相对论

马赫原理

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