概述

动态规划在查找有很多 重叠子问题 的情况的最优解时有效。它将问题重新组合成子问题。为了避免多次解决这些子问题，它们的结果都逐渐被计算并被保存，从简单的问题直到整个问题都被解决。因此，动态规划保存递归时的结果，因而不会在解决同样的问题时花费时间。

动态规划只能应用于有 最优子结构 的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解（对有些问题这个要求并不能完全满足，故有时需要引入一定的近似）。简单地说，问题能够分解成子问题来解决。

适用情况

最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。

无后效性。即子问题的解一旦确定，就不再改变，不受在这之后、包含它的更大的问题的求解决策影响。

子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。

实例

斐波那契数列（Fibonacci polynomial）

计算斐波那契数列（Fibonacci polynomial）的一个最基础的算法是，直接按照定义计算（函数递归）：

当n=5时，fib(5)的计算过程如下:

fib(5)

fib(4) + fib(3)

(fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))

((fib(2) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))

(((fib(1) + fib(0)) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))

由上面可以看出，这种算法对于相似的子问题进行了重复的计算，因此不是一种高效的算法。实际上，该算法的运算时间是指数级增长的。 改进的方法是，我们可以通过保存已经算出的子问题的解来避免重复计算：

将前n个已经算出的数保存在数组map中，这样在后面的计算中可以直接应用前面的结果，从而避免了重复计算。算法的运算时间变为 O（n）

背包问题

背包问题作为完全问题，暂时不存在多项式时间算法。动态规划属于背包问题求解最优解的可行方法之一。此外，求解背包问题最优解还有搜索法等，近似解还有贪心法等，分数背包问题有最优贪心解等。 背包问题具有最优子结构和重叠子问题。动态规划一般用于求解背包问题中的整数背包问题（即每种物品所选的个数必须是整数）。 解整数背包问题： 设有n件物品，每件价值记为Pi，每件体积记为Vi，用一个最大容积为Vmax的背包，求装入物品的最大价值。 用一个数组f[i,j]表示取i件商品填充一个容积为j的背包的最大价值，显然问题的解就是f[n,Vmax].

f[i,j]=

对于特例01背包问题（即每件物品最多放1件，否则不放入）的问题，状态转移方程：

f[i,j]=

参考Pascal代码

fori:=1tondoforj:=totvdowntov[i]dof[j]:=max(f[j],f[j-v[i]]+p[i]);writeln(f[totv]);

参考C++代码（不含include和数组声明）

#define max(x,y) x>y?x:y //max宏函数，也可以自己写或者调取algorithmfor(inti=1;i=v[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+p[i]);printf("%d",f[totv]);//或std:cout<

使用动态规划的算法

最长公共子序列

Floyd-Warshall算法

Viterbi算法

外部链接

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