证明

为了证明不可克隆原理，我们首先假定，存在一个系统能够完全拷贝任意的量子比特。

|ϕ ϕ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\phi \rangle } 和 |ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle } 是两个任意的量子状态，我们要把这两个状态拷贝到另一个与他们完全无关的状态|k⟩ ⟩ -->{\displaystyle |k\幺正算符le }上。我们用一个幺正算符U{\displaystyle U}来描述这个过程。则这个拷贝算符必须具备以下性质：

内积⟨ ⟨ -->U(ϕ ϕ -->⊗ ⊗ -->k)|U(ψ ψ -->⊗ ⊗ -->k)⟩ ⟩ -->{\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle }可得出以下两个等式：

这样便得到了：

=>

因为⟨ ⟨ -->k|k⟩ ⟩ -->=1{\displaystyle \langle k|k\rangle =1}，所以得出

这个等式仅有的两个解是⟨ ⟨ -->ϕ ϕ -->|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->=0{\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0} 和 ⟨ ⟨ -->ϕ ϕ -->|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->=1{\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1}。这意味着，要么 ϕ ϕ -->=ψ ψ -->{\displaystyle \phi =\psi } （当 ⟨ ⟨ -->ϕ ϕ -->|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->=1{\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1}），要么 ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi } 与 ψ ψ -->{\displaystyle \psi }正交（当 ⟨ ⟨ -->ϕ ϕ -->|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->=0{\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0})。只能够克隆相同或正交的状态，这并不是我们最初假设的任意状态的完全克隆，不可克隆原理证明完毕。

举例

无法从|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }造出|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle }。

设状态|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->=a|0⟩ ⟩ -->+b|1⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle =a|0\rangle +b|1\rangle }。 则|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->=a2|00⟩ ⟩ -->+ab|01⟩ ⟩ -->+ab|10⟩ ⟩ -->+b2|11⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle =a^{2}|00\rangle +ab|01\rangle +ab|10\rangle +b^{2}|11\rangle }

把|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle }与|0⟩ ⟩ -->{\displaystyle |0\rangle } 作为输入：

经过受控反闸，输出:

这与|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->|ψ ψ -->⟩ ⟩ -->{\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle } 并不相等，状态没有被复制。

参考文献

W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, Nature 299 (1982), pp. 802–803.

D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp. 271–272.

V. Buzek and M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14 (11) (2001), pp. 25–29.

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