数学定义

这个形状是由y=1/x{\displaystyle y=1/x}（x的域为x≥ ≥ -->1{\displaystyle x\geq 1}）的曲线沿x{\displaystyle x}轴旋转而成。这个发现是在微积分发明前用祖暅原理得出的。

使用旋转体的体积(V)和旋转曲面的面积(A)公式，可得：

V=∫ ∫ -->1∞ ∞ -->π π -->y2dx=π π -->∫ ∫ -->1∞ ∞ -->1x2dx=π π -->{\displaystyle V=\int _{1}^{\infty }\pi y^{2}\mathrm {d} x=\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\pi }

A=∫ ∫ -->1∞ ∞ -->2π π -->y1+(dydx)2dx=2π π -->∫ ∫ -->1∞ ∞ -->1+1x4xdx>2π π -->∫ ∫ -->1∞ ∞ -->1xdx=∞ ∞ -->{\displaystyle A=\int _{1}^{\infty }2\pi y{\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x=2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}{x}}\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x={\infty }}

参阅

双曲线

科赫曲线

宇宙的形状

旋转曲面

芝诺悖论

参考资料

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