积分形式

采用国际单位制，对于空间内的任意体积 V {\displaystyle \mathbb {V} } ，其表面 A {\displaystyle \mathbb {A} } ，真空中的高斯定律的积分形式可以用方程表达为

其中， E {\displaystyle \mathbf {E} } 为电场， d a ′ {\displaystyle d\mathbf {a} "} 为闭合曲面 A {\displaystyle \mathbb {A} } 的微分面积，由曲面向外定义为其方向， Q {\displaystyle Q} 是在体积 V {\displaystyle \mathbb {V} } 内的总电荷数量。

电通量 Φ Φ --> A {\displaystyle \Phi _{\mathbb {A} }} 是穿过曲面 A {\displaystyle \mathbb {A} } 的电场线数量：

Q {\displaystyle Q} 包括自由电荷和束缚电荷（在电介质内，因电极化强度而产生的电荷）。

ϵ ϵ --> 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 是真空电容率。

应用

给予空间的某个区域内，任意位置的电场。原则上，应用高斯定律，可以很容易地计算出电荷的分布。只要积分电场于任意区域的表面，再乘以真空电容率，就可以得到那区域内的电荷数量。

但是，更常遇到的是逆反问题。给予电荷的分布，求算在某位置的电场。这问题比较难解析。虽然知道穿过某一个闭合曲面的电通量，这资料仍旧不足以解析问题。在闭合曲面任意位置的电场可能会是非常的复杂。

假若，问题本身显示出某种对称性，促使在闭合曲面位置的电场大小变得均匀。那么，就可以借着这均匀性来计算电场。像圆柱对称、平面对称、球对称等等，这些空间的对称性，都能帮助高斯定律来解析问题。若想知道怎样利用这些对称性来计算电场，请参阅高斯曲面（ Gaussian surface ）。

微分形式

高斯定律的方程的微分形式为

其中 ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 为体电荷密度， ϵ ϵ --> 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 为真空电容率。

在数学里，高斯定律的微分形式等价于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。

自由电荷的高斯定律

自由电荷与束缚电荷

自由电荷是自由移动，不被束缚于原子或分子内的电荷；而束缚电荷则是束缚于原子或分子内的电荷。当遇到涉及电介质的问题时，才需要考虑到束缚电荷所产生的效应。当电介质被置入于外电场时，电介质内的束缚电荷会被外电场影响，虽然仍旧束缚于其微观区域（原子或分子），但会做微小位移。所有这些微小位移的贡献造成了宏观的电荷分布的改变。

虽然微观而言，不论是自由电荷，还是束缚电荷，本质上都是电荷。实际而言，对于某些案例，使用自由电荷的概念可以简化问题的解析。但有时候，由于问题比较复杂，缺乏对称性，必需采用其它方法来解析问题。

积分形式

对于空间内的任意体积 V {\displaystyle \mathbb {V} } ，其表面 A {\displaystyle \mathbb {A} } ，这个高斯定律表述，可以用积分形式的方程表达为

其中， D {\displaystyle \mathbf {D} } 为电位移， d a ′ {\displaystyle d\mathbf {a} "} 为闭合曲面 A {\displaystyle \mathbb {A} } 的微分面积，由曲面向外定义为其方向， Q f r e e {\displaystyle Q_{\mathrm {free} }} 是在体积 V {\displaystyle \mathbb {V} } 内的自由电荷数量。

微分形式

只涉及自由电荷，这个高斯定律表述的微分形式可以表达为

其中， ρ ρ --> f r e e {\displaystyle \rho _{\mathrm {free} }} 是自由电荷密度，完全不包括束缚电荷。

请注意，在某种状况下，虽然区域内可能没有自由电荷， ρ ρ --> f r e e = 0 {\displaystyle \rho _{\mathrm {free} }=0} 。但是，这并不表示电位移等于 0 。因为，

其中， P {\displaystyle \mathbf {P} } 是电极化强度。

取旋度于方程的两边，

所以，电位移很可能不等于 0 。最典型的例子是永电体。

在数学里，高斯定律的微分形式等价于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。

等价证明

线性电介质

线性电介质有一个简单良好的性质，其 D {\displaystyle \mathbf {D} } 和 E {\displaystyle \mathbf {E} } 的关系方程为

其中， ϵ ϵ --> {\displaystyle \epsilon } 是物质的电容率。

对于线性电介质，又有一对等价的高斯定律表述：

高斯定律与库仑定律的关系

从库仑定律推导高斯定律

库仑定律阐明，一个固定的点电荷的电场是

其中， q ′ {\displaystyle q"} 是点电荷， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是电场位置， r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} 是点电荷位置。

根据这方程，计算位于 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} "} 的无穷小电荷元素所产生的位于 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的电场，积分体积曲域 V {\displaystyle \mathbb {V} } 内所有的无穷小电荷元素，可以得到电荷分布所产生的电场：

取这方程两边对于 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的散度：

注意到

其中， δ δ --> ( r ) {\displaystyle \delta (\mathbf {r} )} 是狄拉克δ函数。

所以， E ( r ) {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )} 的散度是

利用狄拉克δ函数的挑选性质，可以得到高斯定律的微分形式：

由于库仑定律只能应用于固定不动的电荷，对于移动电荷，这导引不能证明高斯定律成立。事实是，对于移动电荷，高斯定律也成立。所以，从这角度来看，高斯定律比库仑定律更一般化。

从高斯定律推导库仑定律

严格地说，从高斯定律不能数学推导出库仑定律，高斯定律并没有给出任何关于电场的旋度的资料（参阅亥姆霍兹定理和法拉第电磁感应定律）。但是，假若能够添加一个对称性假定，即电荷造成的电场是球对称的（就像库仑定律本身一样，在固定不动电荷的状况，这假设是正确的；在移动电荷的状况，这假设是近乎正确的），那么，就可以从高斯定律推导出库仑定律。

高斯定律的方程为

设定高斯定律积分的曲面 A {\displaystyle \mathbb {A} } 为一个半径 r {\displaystyle r} 圆球面，圆心位置在电荷 Q {\displaystyle Q} 的位置。那么，由于球对称性， E = E ( r ) r ^ ^ --> {\displaystyle \mathbf {E} =E(r){\hat {\mathbf {r} }}} ， E ( r ) {\displaystyle E(r)} 与 d a ′ {\displaystyle d\mathbf {a} "} 无关，可以将 E ( r ) {\displaystyle E(r)} 从积分内提出：

所以，库仑定律成立：

参阅

卡尔·高斯

镜像法

恩绍定理（ Earnshaw"s theorem ）

格林互反定理（ Green"s reciprocity theorem ）

多极展开（ multipole expansion ）

参考文献

Jackson, John David. Classical Electrodynamic 3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 978-0-471-30932-1.

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