比较

公式

一个物体的史瓦西半径与其质量呈正比，其比例常数中仅有万有引力常数和光速出现。史瓦西半径的公式，其实是从物件逃逸速度的公式衍生而来。它将物件的逃逸速度设为光速，配合万有引力常数及天体质量，便能得出其史瓦西半径。

当中，

把常数的数值计算，这条公式也可写成

r s {\displaystyle r_{s}} 的单位是“米”，而 m {\displaystyle m} 的单位则是“千克”。

要注意的是，虽然以上公式能计算出准确数值，但需透过广义相对论才能够正确推导出史瓦西半径。有人认为牛顿力学及广义相对论能导出相同结果，纯粹是巧合而已，但也有人认为这暗示着尚未被发现的理论。

从牛顿力学出发

下述为上式以经典力学为依归的推导过程，虽然结果与用广义相对论得出的解不谋而合，也不能视为正确，因牵涉到光速，而必须作相对性的修正，仅供参考。

设一物体 a {\displaystyle a} 质量为 m a {\displaystyle m_{a}} ，想摆脱一质量为 m {\displaystyle m} 、半径为 r {\displaystyle r} 的星体的引力场，飞到无限远处，开始时该物体在星体的表面上。因此，它的动能必须大于引力势能

移项后得出

此时，上式的 v {\displaystyle v} 就是物体 a {\displaystyle a} 的脱离速度。

若该星体是一个黑洞，而物体 a {\displaystyle a} 刚位于它的视界之上，则

此刻，其脱离速度必为光速 c {\displaystyle c} ，所以

把②与③代入①得

整理后再改写成

从广义相对论出发

史瓦西半径的公式，其实是从物件逃逸速度的公式衍生而来。它将物件的逃逸速度设为光速，配合万有引力常数及天体质量，便能得出其史瓦西半径 R s = 2 G M c 2 {\displaystyle R_{s}=2{\frac {GM}{c^{2}}}}

推导过程：

由 F = G M m r 2 {\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}}} 得知 r {\displaystyle r} 越小 则 F {\displaystyle F} 越大

而引力 F {\displaystyle F} 正比于 物体吸引落下速度 v {\displaystyle v} ，且速度 v {\displaystyle v} 最大值为 c {\displaystyle c}

求星体半径临界值（ v = c {\displaystyle v=c} 之 r {\displaystyle r} 临界值）即为史瓦西半径

由 F = m a = m g {\displaystyle F=ma=mg} 得 G M m r 2 = m g {\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=mg} 故 g = G M r 2 {\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}} 由固定引力场势能得非固定引力场势能公式

将 E = m g h {\displaystyle E=mgh} 代换成 E = G M m h r 2 {\displaystyle E={\frac {GMmh}{r^{2}}}} ，且 h = r {\displaystyle h=r} ，故 E = G M m r {\displaystyle E={\frac {GMm}{r}}} 表势能

列出受星体吸引物质之速度与势能对应式，求得临界半径 r {\displaystyle r} (史瓦西半径)

1 2 m v 2 = G M m r {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {GMm}{r}}}

做劳伦兹变换，有

1 2 m v 2 1 − − --> ( v c ) 2 = G M m r 1 − − --> ( v c ) 2 {\displaystyle {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}={\frac {GMm}{r{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}}

在 v < c {\displaystyle v 时，有 r = 2 G M v 2 {\displaystyle r={\frac {2GM}{v^{2}}}}

当 v {\displaystyle v} 无限趋近于 c {\displaystyle c} 时，求极限 R s = lim v → → --> c r {\displaystyle R_{s}=\lim _{v\rightarrow c}r} ，可得

R s = 2 G M c 2 {\displaystyle R_{s}=2{\frac {GM}{c^{2}}}} ； 　　 其中， R s {\displaystyle R_{s}} 为史瓦西半径， G {\displaystyle G} 为引力常数， M {\displaystyle M} 为恒星质量， c {\displaystyle c} 为光速。

分类

超大质量黑洞

假如一个天体的密度为1000千克/立方米（水在普通条件下的密度），而其质量约为1.5亿个太阳质量的话，它的史瓦西半径会超过它的自然半径，这样的黑洞被称为是超大质量黑洞。绝大多数今天观察到的黑洞的迹象来自于这样的黑洞。一般认为它们不是由星群收缩碰撞造成的，而是从一个恒星黑洞开始不断增长、与其它黑洞合并而形成的。一个星系越大其中心的超大质量黑洞也越大。

恒星黑洞

假如一个天体的密度为核密度（约10 千克/立方米，相当于中子星的密度）而其总质量在太阳质量的三倍左右则该天体会被压缩到小于其史瓦西半径，形成一个恒星黑洞。

微黑洞

小质量的史瓦西半径也非常小。一个质量相当于喜马拉雅山的天体的史瓦西半径只有一纳米。目前没有任何可以想象得出来的原理可以产生这么高的密度。一些理论假设宇宙产生时会产生这样的小型黑洞。

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。