雅可比矩阵

假设某函数从 Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 映到 Rm{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}， 其雅可比矩阵是从 Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 到 Rm{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} 的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。 假设F:Rn→Rm 是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成: y1(x1, ..., xn), ..., ym(x1, ...,xn)。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵(m by n)，这就是所谓的雅可比矩阵：

此矩阵用符号表示为：

这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置yi(i=1,...,m)表示的

如果p是 Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的一点，F在p点可微分，根据高等微积分， JF(p) 是在这点的导数。在此情况下，JF(p)这个线性映射即F{\displaystyle F} 在点p附近的最优线性逼近，也就是说当 x 足够靠近点p时，我们有

例子

由球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R × [0,π] × [0,2π] → R

此坐标变换的雅可比矩阵是

R的f函数:

其雅可比矩阵为:

此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

在动力系统中

考虑形为x" = F(x)的动力系统，F : R → R。如果F(x0) = 0，那么x0是一个驻点（又称临界点）。系统接近驻点时的行为跟JF(x0)的特征值相关。

雅可比行列式

如果m = n，那么F是从n维空间到n维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。

在某个给定点的雅可比行列式提供了F在接近该点时的表现的重要信息。例如，如果连续可微函数F在p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点附近具有反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果p点的雅可比行列式是正数，则F在p点的取向不变；如果是负数，则F的取向相反。而从雅可比行列式的绝对值，就可以知道函数F在p点的缩放因子；这就是为什么它出现在换元积分法中。

例子

设有函数F : R → R，其分量为：

则它的雅可比行列式为：

从中我们可以看到，当x1和x2同号时，F的取向相反；该函数处处具有反函数，除了在x1 = 0和x2 = 0时以外。

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