定义

勒让德符号(ap){\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}是对于所有的正整数a{\displaystyle a} 和所有的素数p{\displaystyle p} 定义的。

当(ap)=1{\displaystyle ({\frac {a}{p}})=1} 时，称a{\displaystyle a} 是模p{\displaystyle p}的二次剩余；当(ap)=− − -->1{\displaystyle ({\frac {a}{p}})=-1} 时，称a{\displaystyle a} 是模p{\displaystyle p}的二次非剩余。

运用勒让德符号计算时要将 a{\displaystyle a} 分解成标准形式，计算上十分麻烦，因此产生了雅可比符号：

设 m{\displaystyle m} 是一个正奇数，其质因数分解式为 m=∏ ∏ -->i=pi{\displaystyle m=\prod _{i=1}^{s}p_{i}}，并且正整数 a{\displaystyle a} 满足 (m,a)=1{\displaystyle (m,a)=1} 那么定义(am)=∏ ∏ -->i=(api){\displaystyle ({\frac {a}{m}})=\prod _{i=1}^{s}({\frac {a}{p_{i}}})}。

参见

克罗内克符号，将雅可比符号推广到任意自然数上。

参考来源

Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), Cambridge: The MIT Press, 1966, ISBN 0-262-02045-5  

Lemmermeyer, Franz, Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin:Springer, 2000, ISBN 3-540-66967-4  

Ireland, Kenneth; Rosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York:Springer, 1990, ISBN 0-387-97329-X 

Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8 

Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York:Springer, 1986, ISBN 0387962549 

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