主要等式拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型主要有两个等式。第一个是资本积累的动态法则：k是每个工人的资本、k˙˙-->{\displaystyle{\dot{k}}}是时间方向上每个工人资本的变化量、c是每个工人的消费、f(k)是每个工人的产出、δδ-->{\displaystyle\delta\,}是资本的折旧率。这一等式投资地表达了投资或者说每个工人资本的增量，是没有被消费的那一部分产出，减去资本的折旧率。投资，也就因此等于储蓄。I是投资水平，Y是收入水平，s是储蓄率或者说是用于储蓄的那部分占总收入的比例。第二个等式考虑了家庭的储蓄行为，并不像第一式那样直观。如果家庭想要最大化跨期消费，在时间线上的每一点都需要将今天消费的与未来消费的边际效用进行比较。类似的，也要考虑未来消费的边际收益和边际成本。因为这是一个跨期问题，所以需要涉及速率相等而不是水平的问题。为什么家庭偏好于现在而非在...

证明设我们需要证明如果αα-->{\displaystyle\alpha}=0且ββ-->{\displaystyle\beta}=0，则γγ-->{\displaystyle\gamma}=0。第一步利用恒等式可将αα-->{\displaystyle\alpha}、ββ-->{\displaystyle\beta}及γγ-->{\displaystyle\gamma}表述为以下形式：第二步利用恒等式可得以及第三步利用数量积的分配律，可得：第四步利用恒等式可得：第五步把这些等式相加，得：因此，如果αα-->{\displaystyle\alpha}=0且ββ-->{\displaystyle\beta}=0，则γγ-->{\displaystyle\gamma}=0。证毕。参见布列安桑定理帕斯卡定理笛沙格定理

历史曼杜布拉库斯是特里诺文特人王的儿子。他的父亲在凯撒的《高卢战记》中被称为伊玛努恩提乌斯（英语：Imanuentius），不过于公元前54年部落被推翻，他的父亲也被卡西维拉努斯杀害。曼杜布拉库斯逃往高卢。投靠了凯撒。卡西维拉努斯则在不列颠领导了反对罗马人的联盟，被击败后，他在投降书立下了恢复曼杜布拉库斯王位的条约。

扩展阅读本条目出自已经处于公有领域的：Chisholm,Hugh(编).大英百科全书第十一版.剑桥大学出版社.1911年.

获得者获得该头衔的人有（粗体为罗马帝国皇帝）：儒略-克劳狄王朝尼禄·克劳狄·德鲁苏斯日耳曼尼库斯·尤利乌斯·凯撒卡利古拉克劳狄一世尼禄参见罗马军事头衔列表