简略历史

WKB近似以三位物理学家Gregor Wentzel、Hendrik Anthony Kramers和莱昂·布里渊姓氏字首命名。于1926年，他们成功地将这方法发展和应用于量子力学。不过早在1923年，数学家Harold Jeffreys就已经发展出二阶线性微分方程的一般的近似法。薛定谔方程也是一个二阶微分方程。可是，薛定谔方程的出现稍微晚了两年。三位物理学家各自独立地在做WKB近似的研究时，似乎并不知道这个更早的研究。所以物理界提到这近似方法时，常常会忽略了Harold Jeffreys所做的贡献。这方法在荷兰称为KWB近似，在法国称为BWK近似，只有在英国称为JWKB近似。

数学概念

一般而言，WKB近似专门计算一种特殊微分方程的近似解。这种特殊微分方程的最高阶导数项目的系数是一个微小参数ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon \,\!}。给予一个微分方程，形式为

假设解答的形式可以展开为一个渐近级数（asymptotic series）：

将这据理思考过的猜想代入微分方程。然后约去相同指数函数因子。又取δ δ -->→ → -->0{\displaystyle \delta \rightarrow 0\,\!}的极限。这样，就可以从S0(x){\displaystyle S_{0}(x)\,\!}开始，一个一个的解析这渐近级数的每一个项目Sn(x){\displaystyle S_{n}(x)\,\!}。

通常y(x){\displaystyle y(x)\,\!}的渐近级数会发散（不收敛）。当n{\displaystyle n\,\!}大于某值后，一般项目δ δ -->nSn(x){\displaystyle \delta ^{n}S_{n}(x)\,\!}会开始增加。因此WKB近似法造成的最小误差，约是最后包括数量级数量级。

数学例子

设想一个二阶齐次线性微分方程

其中，Q(x)≠ ≠ -->0{\displaystyle Q(x)\neq 0\,\!}。

猜想解答的形式为

将猜想代入微分方程，可以得到

取δ δ -->→ → -->0{\displaystyle \delta \rightarrow 0\,\!}的极限，最重要的项目是

我们可以察觉，δ δ -->{\displaystyle \delta \,\!}必须与ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon \,\!}成比例。设定δ δ -->=ϵ ϵ -->{\displaystyle \delta =\epsilon \,\!}，则ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon \,\!}的零次幂项目给出

我们立刻认出这是相函方程（eikonal equation）。解答为

检查ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon \,\!}的一次幂项目给出

这是一个一维传输方程（transport equation）。解答为

其中，k1{\displaystyle k_{1}\,\!}是任意常数。

我们现在有一对近似解（因为S0{\displaystyle S_{0}\,\!}可以是正值或负值）。一般的一阶WKB近似解是这一对近似解的线性组合：

检查ϵ ϵ -->{\displaystyle \epsilon \,\!}的更高幂项目（n>2{\displaystyle n>2\,\!}）可以给出：

薛定谔方程的近似解

解析一个量子系统的薛定谔方程，WKB近似涉及以下步骤：

将波函数重新打造为一个指数函数，

将这指数函数代入薛定谔方程，

展开指数函数的参数为约化普朗克常数的幂级数，

匹配约化普朗克常数同次幂的项目，会得到一组方程，

解析这些方程，就会得到波函数的近似。

一维不含时薛定谔方程为

其中，ℏ ℏ -->{\displaystyle \hbar \,\!}是约化普朗克常数，m{\displaystyle m\,\!}是质量，x{\displaystyle x\,\!}是坐标，V(x){\displaystyle V(x)\,\!}是位势，E{\displaystyle E\,\!}是能量，ψ ψ -->{\displaystyle \psi \,\!}是波函数。

稍加编排，重写为

假设波函数的形式为另外一个函数ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \,\!}的指数（函数ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \,\!}与作用量有很亲密的关系）：

代入方程(1)，

其中，ϕ ϕ -->′{\displaystyle \phi "\,\!}表示ϕ ϕ -->{\displaystyle \phi \,\!}随着x{\displaystyle x\,\!}的导数。

ϕ ϕ -->′{\displaystyle \phi "\,\!}可以分为实值部分与虚值部分。设定两个函数A(x){\displaystyle A(x)\,\!}与B(x){\displaystyle B(x)\,\!}：

注意到波函数的波幅是exp[∫ ∫ -->xA(x′)dx′/ℏ ℏ -->]{\displaystyle exp\left[\int ^{x}A(x")dx"/\hbar \right]\,\!}，相位是∫ ∫ -->xB(x′)dx′/ℏ ℏ -->{\displaystyle \int ^{x}B(x")dx"/\hbar \,\!}。将ϕ ϕ -->′{\displaystyle \phi "\,\!}的代表式代入方程(2)，分别匹配实值部分、虚值部分，可以得到两个方程：

半经典近似

将A(x){\displaystyle A(x)\,\!}与B(x){\displaystyle B(x)\,\!}展开为ℏ ℏ -->{\displaystyle \hbar \,\!}的幂级数：

将两个幂级数代入方程(3)与(4)。ℏ ℏ -->{\displaystyle \hbar \,\!}的零次幂项目给出：

假若波幅变化地足够慢于相位（A0(x)≪ ≪ -->B0(x){\displaystyle A_{0}(x)\ll B_{0}(x)\,\!}），那么，我们可以设定

只有当E≥ ≥ -->V(x){\displaystyle E\geq V(x)\,\!}的时候，这方程才成立。经典运动只会允许这种状况发生。

更精确一点，ℏ ℏ -->{\displaystyle \hbar \,\!}的一次幂项目给出：

所以，

波函数的波幅是 exp[∫ ∫ -->xA(x′)dx′/ℏ ℏ -->]=1B0{\displaystyle exp\left[\int ^{x}A(x")dx"/\hbar \right]={\frac {1}{\sqrt {B_{0}}}}\,\!}。

定义动量p(x)=2m(E− − -->V(x)){\displaystyle p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!}，则波函数的近似为

其中，C+{\displaystyle C_{+}\,\!}和C− − -->{\displaystyle C_{-}\,\!}是常数，x0{\displaystyle x_{0}\,\!}是一个任意参考点的坐标。

换到另一方面，假若相位变化地足够慢于波幅（B0(x)≪ ≪ -->A0(x){\displaystyle B_{0}(x)\ll A_{0}(x)\,\!}），那么，我们可以设定

只有当V(x)≥ ≥ -->E{\displaystyle V(x)\geq E\,\!}的时候，这方程才成立。经典运动不会允许这种状况发生。只有在量子系统里，才会发生这种状况，称为量子隧穿效应。类似地计算，可以求得波函数的近似为

其中，p(x)=2m(V(x)− − -->E){\displaystyle p(x)={\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!}。

连接公式

显而易见地，我们可以从分母观察出来，在经典转向点E=V(x){\displaystyle E=V(x)\,\!}，这两个近似方程(5)和(6)会发散，无法表示出物理事实。我们必须正确地找到波函数在经典转向点的近似解答。设定x1<xV(x){\displaystyle E>V(x)\,\!}，波函数呈振动形式。其它区域x<x1{\displaystyle x和x22(V(x)− − -->E){\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\,\!}展开为一个幂级数：

其中，U1,U2,⋯ ⋯ -->{\displaystyle U_{1},\,U_{2},\,\cdots \,\!}是常数值系数。

取至一阶，方程(1)变为

这微分方程称为艾里方程，其解为著名的艾里函数：

匹配艾里函数和在x<x2{\displaystyle x的波函数，在x2<x{\displaystyle x_{2}的波函数，经过一番繁杂的计算，可以得到在x2{\displaystyle x_{2}\,\!}附近的连接公式（connection formula）：

类似地，也可以得到在x1{\displaystyle x_{1}\,\!}附近的连接公式：

量子化规则

在经典运动允许区域x1<x<x2{\displaystyle x_{1}内的两个连接公式也必须匹配。设定角变量

那么，

立刻，我们可以认定|C1|=|C2|{\displaystyle |C_{1}|=|C_{2}|\,\!}。匹配相位，假若C1=C2{\displaystyle C_{1}=C_{2}\,\!}，那么，

所以，

假若C1=− − -->C2{\displaystyle C_{1}=-C_{2}\,\!}，那么，

所以，

总结，量子系统必须满足量子化守则：

范例

考虑一个量子谐振子系统，一个质量为m{\displaystyle m\,\!}的粒子，运动于谐振位势V(x)=12mω ω -->2x2{\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,\!}；其中，ω ω -->{\displaystyle \omega \,\!}是角频率。求算其本征能级En{\displaystyle E_{n}\,\!}？

能量为E{\displaystyle E\,\!}的粒子，其运动的经典转向点xt{\displaystyle x_{t}\,\!}为

所以，

粒子的动量为

将这些变量代入量子化守则：

经过一番运算，可以得到本征能量

借由以上之计算，发现近似解与精确解完全一样。

参阅

摄动理论 (量子力学)

量子隧穿效应

旧量子论

参考文献

现代文献

Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. 2003. ISBN 0-8053-8714-5. 

Sakurai, J. J. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 1993. ISBN 0-201-53929-2. 

Bender, Carl; Orszag, Steven. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. 1978. ISBN 0-07-004452-X. 

历史文献

Jeffreys, Harold.On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order. Proceedings of the London Mathematical Society. 1924, 23: 428–436. 

Brillouin, Léon. La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives. Comptes Rendus de l"Academie des Sciences. 1926, 183: 24–26. 

Kramers, Hendrik A.Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung. Zeitschrift der Physik. 1926, 39: 828–840. 

Wentzel, Gregor.Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik. Zeitschrift der Physik. 1926, 38: 518–529. 

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