推导

从状态假设出发进行的推导

使用热力学状态假设，以s{\displaystyle s}代表均质物质的比熵得出比容v{\displaystyle v}和温度T{\displaystyle T}的方程

在相变过程中，温度保持不变，于是

使用麦克斯韦关系式，可以得到

因为相变之中温度和压力都不变，所以压力对温度的导数并不是比容的函数，于是其中偏微分可以变成全微分，可以求得积分关系

这里 Δ Δ -->s≡ ≡ -->sβ β -->− − -->sα α -->{\displaystyle \Delta s\equiv s_{\beta }-s_{\alpha }}以及Δ Δ -->v≡ ≡ -->vβ β -->− − -->vα α -->{\displaystyle \Delta v\equiv v_{\beta }-v_{\alpha }} 分别是比熵和比容从初相态α α -->{\displaystyle \alpha }到末相态β β -->{\displaystyle \beta }的变化。

对于一个内部经历可逆过程的封闭系统，热力学第一定律表达式为

使用焓的定义，并考虑到温度和压力为常数

将这一关系带入压力的微分的表达式，可以得到

这是克拉佩龙方程。

从吉布斯-杜亥姆方程进行推导

假设两个相态α α -->{\displaystyle \alpha }和β β -->{\displaystyle \beta }相互关联且达到相平衡，则其化学势的关系为μ μ -->α α -->=μ μ -->β β -->{\displaystyle \mu _{\alpha }=\mu _{\beta }}。沿着共存曲线，我们也可以得到dμ μ -->α α -->=dμ μ -->β β -->{\displaystyle \mathrm {d} \mu _{\alpha }=\mathrm {d} \mu _{\beta }}。现在用吉布斯-杜安方程dμ μ -->=M(− − -->sdT+vdP){\displaystyle \mathrm {d} \mu =M(-s\mathrm {d} T+v\mathrm {d} P)}，其中s{\displaystyle s}和v{\displaystyle v}分别是比熵和比容，M{\displaystyle M}是摩尔质量，可得到

因此，整理后得到

如同上面推导的延伸。

使用理想气体状态方程近似

对于有气相参加的相变过程，气相比容vg{\displaystyle v_{\mathrm {g} }}要远远大于固体或液体的体积vc{\displaystyle v_{\mathrm {c} }}，所以固体和液体的体积可以忽略Δ Δ -->v=vg(1− − -->vcvg)≈ ≈ -->vg{\displaystyle \Delta v=v_{\mathrm {g} }\left(1-{\tfrac {v_{\mathrm {c} }}{v_{\mathrm {g} }}}\right)\approx v_{\mathrm {g} }}在较低的压力和气体分子间作用力的前提下，气体可以近似视为理想气体 ，vg=RT/P,{\displaystyle v_{\mathrm {g} }=RT/P,} 此处R是个别气体常数。于是

这就被称为克劳修斯-克拉佩龙方程。 一般来说，相变焓 L{\displaystyle L}是温度的函数，但如果相变焓随温度变化不大， 那么可以积分得

这里 (P1,T1){\displaystyle (P_{1},T_{1})} 和(P2,T2){\displaystyle (P_{2},T_{2})} 是P-T图上的两个点，这是很有用的一个关系，因为他联系了饱和蒸汽压、温度和相变焓。不需要比容的数据，就可以估算饱和蒸汽压随温度变化的关系。

参见

范特霍夫方程

安托万方程

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