定义

给定一个拓扑空间X上的一个复向量丛E,E的陈类是一系列X的上同调的元素。E的第k个陈类通常记为ck(E),是X的整数系数的上同调群H(X;Z)中的一个元素，并且满足如下公理:

公理1. 对于任何E, c0(E)=1∈ ∈ -->H0(X;Z);{\displaystyle E,\ c_{0}(E)=1\in H^{0}(X;\mathbb {Z} );}

公理2. 自然性：如果E→ → -->X{\displaystyle E\to X}是一个复向量丛，f:Y→ → -->X{\displaystyle f:Y\to X} 是一个连续映射，f∗ ∗ -->E→ → -->Y{\displaystyle f^{*}E\to Y}是拉回的向量丛，那么对任意k，ck(f∗ ∗ -->E)=f∗ ∗ -->(ck(E))∈ ∈ -->H2k(Y;Z){\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}(c_{k}(E))\in H^{2k}(Y;{\mathbb {Z} })}.

公理3. 惠特尼求和公式：如果E1,E2→ → -->X{\displaystyle E_{1},E_{2}\to X}是两个复向量丛，那么它们的直和E1⊕ ⊕ -->E2{\displaystyle E_{1}\oplus E_{2}}的陈类是

ck(E1⊕ ⊕ -->E2)=∑ ∑ -->i=0kci(E1)∪ ∪ -->ck− − -->i(E2){\displaystyle c_{k}(E_{1}\oplus E_{2})=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E_{1})\cup c_{k-i}(E_{2})}.

公理4. 如果H→ → -->P1{\displaystyle H\to {\mathbb {P} }^{1}}是复射影直线上的超平面丛，那么c1(H){\displaystyle c_{1}(H庞加莱庞加莱对偶是1∈ ∈ -->H0(P1;Z){\displaystyle 1\in H_{0}({\mathbb {P} }^{1};{\mathbb {Z} })}.

等价定义

同时，有很多处理这个定义的办法：陈省身最初使用了微分几何；在代数拓扑中，陈类是通过同伦理论定义的，该理论提供了把E 和一个分类空间(在这个情况下是格拉斯曼流形联系起来的映射；还有亚历山大·格罗滕迪克的一种办法，表明公理上只需定义线丛的情况就够了。陈类也自然的出现在代数几何中。

直观地说，陈类和向量丛的截面"所需要的0"的个数相关。

殆复流形的陈类和配边

陈类的理论导致了殆复流形的配边不变量的研究。

若M是一个复流形，则其切丛是一个复向量丛。M的陈类定义为其切丛的陈类。若M是紧的2d维的，则每个陈类中的2d次单项式可以和M的基本类配对，得到一个整数，称为M的陈数。

若M′ 是另一个同维度的近复流形，则它和M配边，当且仅当M′和M陈数相同.

推广

陈类理论有个一般化，其中普通的上同调由一个广义上同调群理论所代替。使得这种一般化成为可能的称为复可定向的理论。陈类的形式化属性依然相同，但有一个关键的不同：计算线丛的张量积的第一陈类的规则不是各个因子的（普通）加法而是一个形式化群法则(formal group law)。

参考文献

Chern, Shiing-Shen, Characteristic classes of Hermitian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series, 1946, 47: 85–121, ISSN 0003-486X,MR0015793 

Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.

Chern, Shiing-ShenComplex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.

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