对称的数学模型于一集合X内的所有物件上，所考量的所有对称运算都可以模拟成一个群作用a:G×X→X，其在G内的g及在X内的x所映射出的值可以写成g·x。若存在某些g使得g·x=y，则称x及y为相互对称的。对于任一个物件x，会有g·x=x的运算g可以组成一个群，其称为此物件的对称群，为G之子群。若x的对称群为当然群，则x称为不对称的，不然即称为对称的。一普通的例子为，设G为一作用在一群函数x:V→W上的双射g:V→V所组成的群，其作用为(gx)(v)=x(g(v))(即封闭在群作用下之此一函数的限制集合)。因此，空间之双射所组成的群会导致一在其空间内的“物件”上之群作用。x的对称群包含有所有可使所有V内的v，x(v)=x(g(v))的g。G为全空间都一致的物件之对称群。某些G的子群可能不会为任何一个物件的对称群。例如，若一包含有于V内可使得g(v)=w的v和w，则只会有常数函数x的对称群会包含...

有限置换群各种置换群中，有限集合上的置换群有着特殊的重要性。称X上的对称群是Sn。X上所有的排列构成了全部一一映射的集合，因此，Sn有n!个元素。对n>2，Sn阿贝尔群贝尔群。当且仅当n≤4时，Sn是可解群。对称群的子群称为置换群（en:permutationgroup）。置换的乘积对称群中，两个置换的乘积就是作为双射的复合，只不过省略了符号"o"。例如：f与g的复合应先适用g，其后适用f。那么，1将首先被变换成2然后再由2指向它自己;2被变换成5，然后被变换成4;3被变换成4，然后由4变成5，如此类推。所以，f乘以g是：容易证明长度为L=k·m的轮换，的k次方会分解为k个长度为m的轮换。比如：对换对换指只交换集合中的两个元素而使其他元素仍变换到自身的置换，例如(13)。每个置换都能写成一系列对换的乘积。比如上例中的g=(12)(25)(34)。由于g能被写成奇数个对换的乘积，g是一个奇置...

守恒定律与对称性的关系物理系统的每一个对称性都有相对的守恒定律。诺特定理就是概括这关系的重要定理。它指出物理系统包含的每一个对称性都代表此系统有某相对的物理量守恒。反过来说：物理系统有某守恒性质就代表它带其相对的对称性。例如，空间位移对称造成动量守恒，而时间平移对称造成能量守恒。以下列表总结各对称和相对的守恒量：参阅手征对称性破缺明显对称性破缺

例子(abcbdecef),(130316061),(1557),(2){\displaystyle{\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&1&6\\0&6&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}特性对于任何方形矩阵X{\displaystyleX}，X+XT{\displaystyleX+X^{T}}是对称矩阵。A{\displaystyleA}为方形矩阵是A{\displaystyleA}为对称矩阵的必要条件。对角矩阵都是对称矩阵。两...

参见对称性(物理学)