流体动力学方程

流体动力学的基本公理为守恒律，特别是质量守恒、动量守恒（也称作牛顿第二与第三定律）以及能量守恒。这些守恒律以经典力学为基础，并且在量子力学及广义相对论中有所修改。它们可用雷诺传输定理（Reynolds transport theorem）来表示。

除了上面所述，流体还假设遵守“连续性假设”（continuum assumption）。流体由分子所组成，彼此互相碰撞，也与固体相碰撞。然而，连续性假设考虑了流体是连续的，而非离散的。因此，诸如密度、压力、温度以及速度等性质都被视作是在无限小的点上具有良好定义的，并且从一点到另一点是连续变动。流体是由离散的分子所构成的这项事实则被忽略。

若流体足够致密，可以成为一连续体，并且不含有离子化的组成，速度相对于光速是很慢的，则牛顿流体的动量方程为“纳维-斯托克斯方程”。其为非线性微分方程，描述流体的流所带有的应力是与速度及压力呈线性相依。未简化的纳维-斯托克斯方程并没有一般闭形式解，所以只能用在计算流体力学，要不然就需要进行简化。方程可以通过很多方法来简化，以容易求解。其中一些方法允许适合的流体力学问题能得到闭形式解。

除了质量、动量与能量守恒方程之外，另外还有热力学的状态方程，使得压力成为流体其他热力学变数的函数，而使问题得以被限定。其中一个例子是所谓的理想气体方程：

其中 p {\displaystyle p} 为压力， ρ ρ --> {\displaystyle \rho } 为密度， R u {\displaystyle R_{u}}气体常数体常数， M {\displaystyle M}分子量分子量，以及 T {\displaystyle T}温度为温度。

可压缩流与不可压缩流

所有流体某种程度上而言都是可压缩的，换言之，压力或温度的改变会造成流体密度的改变。然而，许多情况下，压力或温度改变所造成的密度改变相当微小，是可以被忽略的。此种流体可以用不可压缩流进行模拟，否则必须使用更普遍性的可压缩流方程进行描述。

数学上而言，“不可压缩性”代表着流体流动时，其密度 ρ ρ --> {\displaystyle \rho \;} 维持不变，换言之：

其中， D / D t {\displaystyle \mathrm {D} /\mathrm {D} t} 为随质导数（substantial derivative）。此条件可以简化许多描述流体的方程，尤其是运用在均匀密度的流体。而随质导数又可分解成局部导数与对流导数，前者代表位置不变时，性质随时间之变化率，而后者代表质点运动时，该性质随速度方向之变化率。若为不可压缩流，则代表对密度做随质导数与对流导数，都各别为0时，代表密度不随位置跟时间改变，即不可压缩流。

对于气体要辨别是否具有可压缩性，马赫数是一个衡量的指标。概略来说，在马赫数低于0.3左右时，可以用不可压缩流的行为解释。

至于液体，较符合可压缩流还是不可压缩流的性质，主要取决于液体本身的性质（特别是液体的临界压力与临界温度）和流体的条件（液体压力是否接近和液体临界压力）。

声学的问题往往需要引进压缩性的考量，因为声波算是可压缩波，其性质会随着传播的介质以及压力变化而改变。

黏性流与非黏性流

当流体内的阻力越大时，描述流体须考虑其黏性的影响。雷诺数可用来估算流体的黏性对描述问题的影响。

所谓史托克流指雷诺数相当小的流动。在此情况，流体的惯性相较于黏性可忽略。而流体的雷诺数大代表流体流动时惯性大于黏性。因此当流体有很大的雷诺数，假设它是非黏性流，忽略其黏性，可当成一个近似。

这样的近似，当雷诺数大时，可得到很好的结果，即便是在某些不得不考虑黏性的问题上（例如边界问题）。但在流体与管壁的边界，有所谓的不滑移条件，局部会有很大的速率应变率，使得黏性的作用放大而有涡度，黏性因而不可被忽略。

因此，计算管壁对流体的合力，需要使用黏性方程。如同达朗白谬论的说明，物体在非黏性流里，不会感受到力。欧拉方程是描述非黏性流的标准方程。在这种情况，一个常使用的模型，使用欧拉方程描述远离边界的流体，在接触的边界，使用边界层方程。

在某一个流线上，将欧拉方程积分，可得到伯努利定律。如果流体每一处都是无旋转涡动，伯努利方程可描述整个流动。

稳定流与非稳定流

稳定流即在流场中任一特定位置上，此位置上流体质点的任何物理性质不会随时间改变。在流场中若有流线，线上任一位置上的切线方向与质点之速度矢量相同。 非稳定流：水在渗流场内运动过程中各个运动要素随时间改变的水流运动。运动要素包括水位、流速、流向等

层流与紊流

当流动由漩涡和表观的随机性所主导时，此种流动称为紊流。当湍流效应不明显时，则称为层流。然而值得注意的是，流动之中存在于漩涡不一定表示此流动为湍流──这些现象可能也存在于层流之中。数学上，紊流通常以雷诺分离法来表示，也就是紊流可以表示成稳定流与扰动部分的和。

湍流遵守纳维-斯托克斯方程。数值直解法（Direct numerical simulation，DNS），基于纳维-斯托克斯方程可应用在不可压缩流，可使用雷诺数对紊流进行模拟（必须在电脑性能与演算结果准确性均能负荷的条件下）。而此数值直解法的结果，可以解释所得的实验资料。

然而，大部分我们有兴趣的流动都是雷诺数比DNS能够模拟的范围大上许多，即使电脑性能在接下来的数十年间持续发展，仍难以实行模拟。任何飞行交通工具，要足够能承载一个人（L >3 m）以72 km/h（20 m/s）的速度移动，此情况都远远在DNS能够模拟的范围之外（雷诺数为4百万）。像是空中客车A300或波音747这类的飞行工具，机翼上的雷诺数超过4千万（以翼弦为标准）。为了能够处理这些生活上实际的问题，需要建立紊流模型。雷诺平均纳维-斯托克斯方程（Reynolds-averaged Navier-Stokes equations）结合了紊流的效果，提供了一个紊流的模型，将额外的动量传递表示由雷诺应力所造成；然而，湍流也会增加热传与质传速度。大涡数值模拟计算（Large eddy simulation，LES）也是一个模拟方法，外观与分离涡流模型（detached eddy simulation, DES）甚相似，是一种紊流模拟与大涡数值模拟计算的结合。

牛顿式流体与非牛顿式流体

牛顿流体为在定温及定压之下，流体的动力黏制系数不会随速度梯度变化，且保持定值，非牛顿流体的动力黏制系数则会随速度梯度改变。

其他近似

参考文献

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