例子

举例明之，考虑下述方阵：

其特征多项式为

此时可以直接验证凯莱-哈密顿定理：

此式可以简化高次幂的运算，关键在于下述关系：

例如，为了计算 A4{\displaystyle A^{4}}，可以反复利用上述关系式：

或是，如果要计算 An{\displaystyle A^{n}}，也可以假设：

An=aA+bI{\displaystyle A^{n}=aA+bI}

然后，依照前面的特征多项式 λ λ -->2− − -->5λ λ -->− − -->2{\displaystyle \lambda ^{2}-5\lambda -2} 之两解 λ λ -->1,λ λ -->2{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}，代入后可以得到

λ λ -->1n=aλ λ -->1+b{\displaystyle \lambda _{1}^{n}=a\lambda _{1}+b}

λ λ -->2n=aλ λ -->2+b{\displaystyle \lambda _{2}^{n}=a\lambda _{2}+b}

然后解方程后求出a,b{\displaystyle a,b}，便可得 An{\displaystyle A^{n}}.

此外，凯莱-哈密顿定理也是计算特征向量的重要工具。

注：一般而言，若 n× × -->n{\displaystyle n\times n} 矩阵 A{\displaystyle A} 可逆（即：det(A)≠ ≠ -->0{\displaystyle \det(A)\neq 0}），则 A− − -->1{\displaystyle A^{-1}} 可以写成 A{\displaystyle A} 的幂次和：特征多项式有如下形式

将方程式 p(A)=0{\displaystyle p(A)=0} 同乘以 A− − -->1{\displaystyle A^{-1}}，便得到

定理证明

以下考虑布于域 k=R,C{\displaystyle k=\mathbb {R} ,\mathbb {C} } 上的矩阵。

凯莱-哈密顿定理可以视为线性代数中拉普拉斯展开的推论。拉普拉斯展开可推出若 S{\displaystyle S} 是 n× × -->n{\displaystyle n\times n} 矩阵，而 adj(S){\displaystyle \mathrm {adj} (S)} 表其伴随矩阵，则

取 S=tIn− − -->A{\displaystyle S=tI_{n}-A}，便得到 (tIn− − -->A)adj(tIn− − -->A)=pA(t)In{\displaystyle (tI_{n}-A)\mathrm {adj} (tI_{n}-A)=p_{A}(t)I_{n}}。此式对所有 t{\displaystyle 实数 皆成立，由于实数或复数域有无穷多元素，上式等式在多项式环k[t]{\displaystyle k[t]} 内成立。

设 M:=kn{\displaystyle M:=k^{n}}，矩阵 A{\displaystyle A} 赋予 M{\displaystyle M} 一个 k[t]{\displaystyle k[t]}-模结构：f(t)⋅ ⋅ -->m=f(A)m{\displaystyle f(t)\cdot m=f(A)m}。考虑 k[t]{\displaystyle k[t]}-模 M[t]:=M⊗ ⊗ -->kk[t]{\displaystyle M[t]:=M\otimes _{k}k[t]}，我们有 k[t]{\displaystyle k[t]}-模之间的“求值态射”：

固定 m∈ ∈ -->M{\displaystyle m\in M}，对 M[t]{\displaystyle M[t]} 中的等式

右侧取 eA{\displaystyle e_{A}} 后得到 pA(A)m{\displaystyle p_{A}(A)m}，左侧取 eA{\displaystyle e_{A}} 后得到 (A− − -->A)⋅ ⋅ -->(⋯ ⋯ -->)=0{\displaystyle (A-A)\cdot (\cdots )=0}。明所欲证。

一个简单的证明： 令：

由:

得：

因两多项式，他们的对应项系数相等得：

在等式两边t的i次项系数分别乘以A, 并将等式左右两边分别相加并合项得：

得证

抽象化与推广

前述证明用到系数在 k[t]{\displaystyle k[t]} 的矩阵的克莱姆法则，事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。借此，凯莱-哈密顿定理可以推广到一个交换环 R{\displaystyle R} 上的任何有限生成自由模 M{\displaystyle M}（向量空间是特例）。中山正引理的一种证明就用到这个技巧。

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