历史

第一份印有欧拉方程的出版物是欧拉的论文《流体运动的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），发表于1757年，刊载于《柏林科学院论文集》（Mémoires de l"Academie des Sciences de Berlin）。它们是最早被写下来的一批偏微分方程。在欧拉发表他的研究之时，方程组只有动量方程及连续性方程，因此只能完整描述非压缩性流体；在描述可压缩性流体时，会因条件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯添加了一条方程，第三条方程后来被称为绝热条件。

在十九世纪的后半期，科学家们发现，与能量守恒相关的方程在任何时间都得被遵守，而绝热条件则只会在有平滑解的情况下会被遵守，因为该条件是由平滑解时的基础定律所造成的后果。在发现了狭义相对论之后，能量密度、质量密度及应力这三个概念，被统一成应力-能量张量这一个概念；而能量及动量也同样被统一成一个概念——能量-动量张量。

守恒形式（分量）

以下是用微分形式写成的欧拉方程：

其中

ρ为流体的质量密度；

u 为流体速度矢量，分量为u、v及w；

E = ρ e + ½ ρ ( u + v + w )为每一单位容量所含的总能量，其中e为流体每一单位容量所含的内能；

p为压力；

⊗ ⊗ -->{\displaystyle \otimes }代表张量积。

第二条方程包含了一并矢积的散度，用下标标记（每一个j代表从1至3）表示会较易明白：

其中i及j下标各代表直角坐标系的三个分量：( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z )及( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )。

注意以上方程是用守恒形式的，而守恒形式强调的是方程的物理起因（因此在计算流体力学中的电脑模拟上使用这种形式最方便）。而代表动量守恒的第二条方程可用非守恒形式表示：

但是在这个形式上，会比较看不出欧拉方程与牛顿第二运动定律的直接关联。

守恒形式（矢量）

以下是用矢量及守恒形式写成的欧拉方程：

其中

在这个形式下，不难看出fx、fy及fz是通量。

以上方程分别代表质量守恒、动量的三个分量及能量。里面有五条方程，六个未知数。封闭系统需要一条状态方程；最常用的是理想气体定律（即p = ρ (γ−1) e，其中ρ为密度，γ为绝热指数，e为内能）。

注意能量方程的奇特形式；见蓝金-雨果尼厄方程。附加含p的项可被诠释成相邻的流体元对某流体元所作的机械功。在非压缩性流体中，这些附加项的总和为零。

取流线上欧拉方程的积分，假设密度不变，及状态方程具有足够的刚性，可得有名的伯努利定律。

非守恒形式（通量雅可比矩阵）

在构建数值解，例如求雷曼问题的近似解的时候，展开通量可以是很重要的一环。使用上面以矢量表示的守恒形式方程，展开其通量可得非守恒形式如下：

其中Ax、Ay及Az为通量雅可比矩阵，各矩阵为：

上式中这些通量雅可比矩阵Ax、Ay及Az，还是状态矢量m的函数，因此这种形式的欧拉方程跟原方程一样，都是非线性方程。在状态矢量m平滑变动的区间内，这种非守恒形式跟原来守恒形式的欧拉方程是相同的。

理想气体的通量雅可比矩阵

将理想气体定律用作状态方程，可推导出完整的雅可比矩阵形式，矩阵如下：

总焓H为：

及声速a为：

线性化形式

将含通量雅可比矩阵的非守恒形式，在状态m = m0的周围线性化后，可得线性化欧拉方程如下：

其中Ax,0 、Ay,0及Az,0分别为Ax、Ay及Az于某参考状态m = m0的值。

线性化一维的非耦合波方程

如果弃用守恒变量而改用特征变量的话，欧拉方程可被变换成非耦合波方程。举例说，考虑以线性通量雅可比矩阵形式表示的一维（1-D）欧拉方程：

矩阵Ax,0可被对角化，即可将其分解成：

上式中，r1、r2及r3为矩阵Ax,0的右特征矢量（若AxR=λ λ -->RxR, {\displaystyle Ax_{R}=\lambda _{R}x_{R},\ }，则x_R为右特征矢量），而λ1、λ2及λ3则为对应的特征值。

设特征变量为：

由于Ax,0不变，原来的一维通量雅可比矩阵方程，乘上P后可得：

经过这样的处理后，方程实际上已经被非耦合化，而且可被视作三条波方程，其中特征值为波速。变量wi为雷曼不变量，或在一般的双曲系统中为特征变量。

冲击波

欧拉方程为非线性双曲方程，而它们的通解为波。与海浪一样，由欧拉方程所描述的波碎掉后，所谓的冲击波就会形成；这是一种非线性效应，所以其解为多值函数（即函数内的某自变量会产生多个因变量）。物理上这代表构建微分方程时所用的假设已经崩溃，如果要从方程上取得更多信息，就必须回到更基础的积分形式。然后，在构建弱解时，需要使用蓝金-雨果尼厄冲击波条件，在流动的物理量中避开不连续点“跳跃”，上述物理量有密度、速度、压力及熵。物理量很少会出现不连续性；在现实的流动中，黏性会把这些不连续点平滑化。

许多领域都有研究冲击波的传播，尤其是出现流动处于足够高速的领域，例如空气动力学及火箭推进。

一维中的方程

在某些问题中，特别是分析导管中的可压缩流，或是当流动呈圆柱或球状对称的时候，一维欧拉方程都是很有用的近似法。一般来说，解欧拉方程会用到黎曼的特征线法。首先需要找出特征线，这条曲线位于两个独立变量（即x及t）所构成的平面上，在这条线上偏微分方程（PDE）会退化成常微分方程（ODE）。欧拉方程的数值解法非常倚赖特征线法。

资料来源及延伸阅读

Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962. 

Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055. 

Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8. 

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