泊松回归模型

x ∈ ∈ --> R n {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}} 代表由一组相互独立的变量组成的向量，其泊松回归的模型形式为:

log ⁡ ⁡ --> ( E ⁡ ⁡ --> ( Y ∣ ∣ --> x ) ) = α α --> + β β --> ′ x , {\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))=\alpha +\mathbf {\beta } "\mathbf {x} ,} α α --> ∈ ∈ --> R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } ， β β --> ∈ ∈ --> R n {\displaystyle \mathbf {\beta } \in \mathbb {R} ^{n}} .

亦可简洁表示为： log ⁡ ⁡ --> ( E ⁡ ⁡ --> ( Y ∣ ∣ --> x ) ) = θ θ --> ′ x , {\displaystyle \log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))={\boldsymbol {\theta }}"\mathbf {x} ,\,}

此处， x {\displaystyle \mathbf {x} } 是 n+1维的向量，由n个独立变量（自变量向量）一个常向量（元素取值全为1）构成，用一个 θ 代表第一个表达式当中的 α 和 β 。

因此，当已知泊松回归模型当中的 θ 和解释变量 x {\displaystyle \mathbf {x} } , 其满足泊松分布的被解释变量的期望值可以由下式来预测：

Y i 是被解释变量的观测值，相应的解释变量为 x i ，可由极大似然估计（Maximum Likelihood estimation）的方法来估计参数 θ 。 极大似然估计不能通过解析表达式获得解析解，是由其对数似然函数为凸函数的特性，可通过Newton–Raphson 或其他基于梯度下降的思想方法来进行参数估计。

极大似然估计

如上所述，已知泊松回归模型当中的 θ 和解释变量 x {\displaystyle \mathbf {x} } , 其回归表达式为：

泊松分布的概率密度函数为：

现已知解释变量的观测值为由 m 个向量组成 x i ∈ ∈ --> R n + 1 , i = 1 , … … --> , m {\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{n+1},\,i=1,\ldots ,m} , 对应 m 个被解释变量的观测值， y 1 , … … --> , y m ∈ ∈ --> R {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{m}\in \mathbb {R} } . 若同时已知 θ , 则该组观测值所对应的联合概率可由下式表达：

极大似然方法估计 θ 的核心思想是，去找到能使得基于当前观测值的联合概率尽可能达到最大的 θ 。（可理解为：变量的取值当前观测值，与取值为其他任何数值相比，是发生概率最高的事件）。 既然目标是寻找到最优的 θ ，可以先将上式的等号左边简单表达为关于 θ 的表达式：

注意等号右边的表达式并未改写，但通常难于付诸计算，因而采用其对数变化后的表达式（ log-likelihood ）即：

由于 θ 仅出现在似然函数的前两项，因而在极大化似然函数的运算过程中，可以只考虑前两项。可以删去第三项 y i !，待优化的似然函数可以简洁表达为：

ℓ ℓ --> ( θ θ --> ∣ ∣ --> X , Y ) = ∑ ∑ --> i = 1 m ( y i θ θ --> ′ x i − − --> e θ θ --> ′ x i ) {\displaystyle \ell (\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\left(y_{i}\theta "x_{i}-e^{\theta "x_{i}}\right)} .

为了找到极大值，需要求解方程：

∂ ∂ --> ℓ ℓ --> ( θ θ --> ∣ ∣ --> X , Y ) ∂ ∂ --> θ θ --> = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \ell (\theta \mid X,Y)}{\partial \theta }}=0}

可以通过对其似然函数取负值 （negative log-likelihood）, − − --> ℓ ℓ --> ( θ θ --> ∣ ∣ --> X , Y ) {\displaystyle -\ell (\theta \mid X,Y)} 是一个凸函数, 标准的凸优化方法可以考虑来求解 θ 的最优值。统一的方法是Newton-Raphson 与Iterative Weighted Least Square（IWLS）算法。 给 θ 一组初始值，IWLS 是通过多次迭代更新直到 θ 收敛。

泊松回归的应用

泊松回归常用于被解释变量为计数（Count）形式时，包括事件发生的次数，比如：客服中心接到的电话次数。其满足相互独立的假设。在此例子中，即为：拨打客服电话的人们之间不存在相互关联。不会因为甲拨打了客服，而影响乙拨打的可能性。但在建模时，需要考虑统计该事件发生的时期，比如目标变量统计的是一天接到的电话次数，还是一个星期，或者一个月。这个时期的数据作为回归模型中的抵消值，在下面解释。

"量"（Exposure） 与 偏移量 (trade off)

泊松分布也可以适用于比率数据，即事件发生次数与其测量时间或测量范围的比值。比如生物学家测量某森林中树木种类的数目， 比率变量即为每平方千米的树木种类数。人口学家关注的是每个人口年（person-year）的人口死亡数。通常来说，比率变量表达的是单位时间内该事件发生的次数。这些例子中，平方米”，“人口年”这些变量就是所谓的"量"（Exposure）。泊松回归中将其视为偏移量放在等式右边。

which implies

在R中运行广义线性模型时，可用offset()来指定表示“量”的变量:

glm(y ~ offset(log(exposure))+ x, family=poisson(link=log))

过度离势和零膨胀

服从泊松分布的变量,具有期望与方差相等的特征。若观测样本的方差远大于期望值的时，则认为存在过度离势，当前的模型不合理。其常见的原因是缺失重要的解释变量。解决该问题的方法，通常采用准似然估计（quasi-likelihood） 或者负二项分布（negative binomial distribution）来估计。

泊松回归的另一个常见的问题是零膨胀zero-inflated model。标准的泊松分布其定义域为非负整数，被解释变量y取值为0的概率为：

但如果观测样本中添加大量的0，则取值为0的频率远大于理论概率，此时不适宜直接采用泊松回归。比如观测一组人在一小时内的吸烟情况，目标变量是每人吸了多少根烟。但当观测人群中有大量的非吸烟者，就会有过多的目标变量为0， 这就是零膨胀。可以采用其他的广义线性模型，比如负二项分布negative binomial来建模，或者零膨胀模型zero-inflated model 来解决。

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。