其中Γ{\displaystyle \Gamma }为材料围线C(t){\displaystyle C(t)}的环流。用更简单的话来说，这条定理所指的是，若观察闭合围线并注意它一段时间（注意所有流体元的运动）的话，则始终两者间的环流相等。

本定理在有黏性应力、非保守彻体力（例如科里奥利力）或非正压的压力－密度关系的情况下并不成立。

数学证明

参见：欧拉方程 (流体动力学)

材料围线C(t){\displaystyle C(t)}的环流 Γ{\displaystyle \Gamma }的定义为：

其中u为速度矢量，ds为沿着闭合围线的单元。

彻体力保守的非黏性流体的主宰方程为

其中D/Dt为实质导数，ρ为流体密度，p为密度，以及Φ为彻体力的势。上式为带彻体力的欧拉方程。

正压性条件意味着密度是压力的函数，且为其唯一自变量，即ρ=ρ(p){\displaystyle \rho =\rho (p)}。

取环流的实质导数，得：

把主宰方程代入第一项并使用斯托克斯定理，得：

最后的等式是源自∇ρ×∇p=0{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0}，它是正压性的结果。同时亦使用了任何函数f{\displaystyle f}的梯度的旋度皆为零这一事实∇×∇f=0{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0}。

已知材料线元的时间进化由下式给出（可由实质导数的定义求得）

因此

使用交换律后再使用u⋅∇u=12∇(|u|2){\displaystyle {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\nabla \left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)}。而最后的等式则使用了斯托克斯定理。

由于第一项及第二项皆为零，得

参见

亥姆霍兹定理 (流体力学)

参考资料

免责声明：以上内容版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。感谢每一位辛勤著写的作者，感谢每一位的分享。