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布拉格定律

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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布拉格条件图为布拉格衍射。两束相同波长及相的辐射，向着固态晶体前进，最后被里面的两个原子所散射出去。下面的束被散射后，比上面的束多行了2dsin⁡⁡-->θθ-->{displaysty

布拉格条件

图为布拉格衍射。两束相同波长及相的辐射，向着固态晶体前进，最后被里面的两个原子所散射出去。下面的束被散射后，比上面的束多行了 2dsin⁡ ⁡ -->θ θ -->{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2d\sin \theta \end{smallmatrix}}} 的距离。当这个距离等于辐射波长的倍数时，散射后的两束辐射就会产生相长干涉。

当电磁辐射或亚原子粒子波的波长，与进入的晶体样本的原子间距长度相若时，就会产生布拉格衍射，入射物会被系统中的原子以镜面形式散射出去，并会按照布拉格定律所示，进行相长干涉。对于晶质固体，波被晶格平面所散射，各相邻平面间的距离为d。当被各平面散射出去的波进行相长干涉时，它们的相位依然相同，因此每一波的路径长度皆为波长的整数倍。进行相长干涉两波的路径差为2dsin⁡ ⁡ -->θ θ -->{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2d\sin \theta \end{smallmatrix}}}，其中θ θ -->{\displaystyle {\begin{smallmatrix}\theta \end{smallmatrix}}}为散射角。由此可得布拉格定律，它所描述的是晶格中相邻晶体平面（由米勒指数h、k及l 标记），产生相长干涉的条件：

其中n为整数，按各项参数大小而定，而λ则为波长。通过量度散射后入射波的强度，并将之表示成入射角的函数，可得干涉图样。在干涉图样中，当散射波满足布拉格条件，就会产生非常强的强度，它们叫布拉格尖峰。

倒空间

尽管很多人都以为布拉格定律量度的是实空间中的原子距离，但事实并不是这样的。在布拉格实验中，只有在量度的距离与晶格图中的d成反比时，第一陈述才似乎会是正确的。而且，从布拉格定律的nλ λ -->{\displaystyle n\lambda }项，可以看出定律量度两排原子间到底能放多少个波长，因此它所量度的是倒距离。倒晶格矢量描述的是某组晶格平面，它是这组平面的法矢量，其长度为G=2π π -->/d{\displaystyle G=2\p马克斯·冯·劳厄斯·冯·劳厄用矢量形式正确地诠释了倒晶格矢量，并得出以他命名的劳厄方程：

其中G→ → -->{\displaystyle {\vec {G}}}为倒晶格矢量，而kf→ → -->{\displaystyle {\vec {k_{f}}}}及ki→ → -->{\displaystyle {\vec {k_{i}}}波矢入射及衍射束的波矢。

弹性散射条件|kf|=|ki|{\displaystyle |k_{f}|=|k_{i}|}，及散射角2θ θ -->{\displaystyle 2\theta }与上式结合后，基本上与布拉格方程等效。这是因为动量转移守恒的缘故。在这个系统中，其扫掠变量可以是长度、入射方向或出射波矢，其中波矢与系统中的能量及角度弥散有关。衍射角与Q空间的关系可用一简单的式子表示：

倒晶格是一晶格的傅里叶空间，在晶格上应用完整的波动力学时，这个概念是不可或缺的。

另一种推导

设一单色波（任何种类），进入一组对齐的平面晶格点，其平面间距为d{\displaystyle d}，入射角为θ θ -->{\displaystyle \theta }，如下图。

波被晶格点A反射后会沿AC"行进，而没有被反射的波则沿AB继续行进，被晶格点B反射后路径为BC。AC与BC间存在路径差，表达式为

只有在路径差等于波长的整数倍时，这两股分开的波，在到达某一点时，会是同相位的，才会因此产生相长干涉，故相长干涉的产生条件为

其中n{\displaystyle n}与λ λ -->{\displaystyle \lambda }的定义同上。

从上图可见，

由此可得，

组合上述各式，得

简化后可得：

即布拉格定律。

胶体晶体的布拉格可见光散射

胶体晶体（英语：Colloidal crystal）为一种非常有序（英语：Order and disorder (physics)）的粒子阵列，可以在大范围内形成（长度从几微米到几毫米不等），而且可被看作原子及分子晶体的类比。球状粒子的周期性阵列，会形成出相似的空隙阵列，而这种阵列可被用作可见光的衍射光栅，尤其是当空隙与入射波长为同一数量级的时候。

因此，科学家们在很多年前就发现了，由于相斥库仑相互作用的关系，水溶液中的带电荷高分子，会表现出大范围的类晶体相互关联，当中粒子间距一般会比粒子直径要大得多。在自然的所有这种例子中，都可到看到一样的漂亮构造色（或晃动的色彩），这都可以归功于可见光波的相长干涉，而此时光波会满足布拉格条件，跟结晶固体的X射线衍射类似。

选择定则与实验晶体学

就跟上文提过的那样，布拉格定律可用于计算某立方晶系的晶格间距，关系式如下：

其中a{\displaystyle a}为立方晶体的晶格间距，而h{\displaystyle h}、k{\displaystyle k}及l{\displaystyle l}则为布拉格平面的密勒指数，将上式与布拉格定律结合可得：

我们可以推导出各种不同立方布拉维晶格的密勒指数选择定则；以下是其种几种晶格的选择定则。

这些选择定则可用于对应晶体结构下的任何晶体。尽管氯化钠呈现面心立方的结构，但是由于氯离子跟钠离子的大小相近，因此衍射图样实质上跟简单立方结构一致，只是各项晶体参数都小了一半。其他结构的选择定则可在各种相关的参考文献中找到，也可以自行推导出来。

另见

晶格

衍射

分散式布拉格反射器

光纤布拉格光栅（英语：Fiber Bragg grating）

亨德森极限（英语：Henderson limit）

衍射的动力学理论