抽象调和分析

拓扑群上的数学分析是调和分析更现代的一个分支，源于20世纪中叶。其主要动机是各种傅里叶变换可以推广为定义在局部紧致阿贝尔群上的函数的变换。关键是证明普朗歇尔定理的类比。

局部紧致阿贝尔群上的调和分析以庞特里亚金对偶性为基石，现已有完整的理论。对于一般的局部紧拓扑群，调和分析的课题是分类其酉表示。主要对象是李群与p-进群。

对于紧群，任何不可约表示必为有限维幺正表示，彼得-外尔定理断言：不可约幺正表示的矩阵系数构成L2(G){\displaystyle L^{2}(G)}的正交基；映射f↦ ↦ -->π π -->(f){\displaystyle f\mapsto \pi (f)}具有与傅里叶变换相近的性质。借此可以深究紧群的结构。

对于非紧亦非交换的群，须考虑其无穷维表示。目前还没有一般的普朗歇尔定理，不过对GLn,SLn{\displaystyle \mathrm {GL} _{n},\mathrm {SL} _{n}}等特例已有结果。

其它分支

研究流形或图上的拉普拉斯算子。

欧氏空间Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}上的傅里叶分析。由于傅里叶变换在旋转下保持不变，可析之为径向成分与球面成分，由此导向贝塞尔函数与球谐函数的研究。

管状域上的调和分析，这是哈代空间在高维度的推广。

参考文献

Elias Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X

Elias Stein with Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993.

Elias Stein, Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory, Princeton University Press, 1970.

Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; 0-521-54359-2

Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition（Kharkov, Ukraine）. Birkhäuser Verlag. 1988.

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