定义

假设 (M,ω) 是一个辛流形。因为辛形式ω 非退化，诱导了切丛TM{\displaystyle TM} 与余切丛T∗ ∗ -->M{\displaystyle T^{*}M} 的一个线性同构

以及逆

从而，流形 M 上的1-形式可以与向量场等价起来，故任何可微函数H:M→ → -->R{\displaystyle H:M\to \mathbb {R} } 确定了惟一的向量场 XH = Ω(dH)哈密顿哈密顿函数H 的哈密顿向量场。即对 M 上任何向量场 Y，等式

一定成立。

注：一些作者定义哈密顿向量场为相反的符号；需注意物理与数学著作的不同习惯。

例子

假设 M 是一个 2n 维辛流形。则由达布定理，我们在局部总可以取 M 的一个典范坐标(q1,… … -->,qn,p1,… … -->,pn){\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})}，在这个坐标系下辛形式表示为

则关于哈密顿函数 H 的哈密顿向量场具有形式

这里 Ω 是一个 2n × 2n 矩阵

假设 M = R 是 2n 维具有（整体）典范坐标的辛向量空间。

如果 H=pi{\displaystyle H=p_{i}} 则 XH=∂ ∂ -->/∂ ∂ -->qi ;{\displaystyle X_{H}=\partial /\partial q^{i}\ ;}

如果 H=qi{\displaystyle H=q^{i}} 则 XH=− − -->∂ ∂ -->/∂ ∂ -->pi ;{\displaystyle X_{H}=-\partial /\partial p^{i}\ ;}

如果 H=1/2∑ ∑ -->(pi)2{\displaystyle H=1/2\sum (p_{i})^{2}} 则 XH=∑ ∑ -->pi∂ ∂ -->/∂ ∂ -->qi ;{\displaystyle X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i}\ ;}

如果 H=1/2∑ ∑ -->aijqiqj,aij=aji{\displaystyle H=1/2\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}} 则 XH=− − -->∑ ∑ -->aijpi∂ ∂ -->/∂ ∂ -->qj .{\displaystyle X_{H}=-\sum a_{ij}p_{i}\partial /\partial q^{j}\ .}

性质

映射 f↦ ↦ -->Xf{\displaystyle f\mapsto X_{f}}线性的，所以两个哈密顿函数之和变为相应的哈密顿向量场之和。

假设 (q1,… … -->,qn,p1,… … -->,pn){\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})} 是 M 上的典范坐标。则曲线 γ γ -->(t)=(q(t),p(t)){\displaystyle \gamma (t)=(q(t),p(t))} 是哈密顿向量场 XH 的积分曲线当且仅当它是哈密顿方程的一个解：

哈密顿函数 H 在积分曲线上是常数，这就是 H(γ γ -->(t)){\displaystyle H(\gamma (t))} 与时间 t 无关。这个性质对应于哈密顿力学中的能量守恒。

更一般地，如果两个函数 F 与 H 的泊松括号为零（见下），则 F 沿着 H 的积分曲线为常数；类似地 H 沿着 F 的积分曲线是常数。这个事实是诺特定理背后的数学原理。

辛形式ω ω -->{\displaystyle \omega } 在哈密顿流下不变；或等价地，李导数LXHω ω -->=(ι ι -->Xf∘ ∘ -->d+d∘ ∘ -->ι ι -->Xf)ω ω -->=d∘ ∘ -->df=0 .{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =(\iota _{X_{f}}\circ d+d\circ \iota _{X_{f}})\omega =d\circ df=0\ .} 这里 ι ι -->{\displaystyle \iota } 是内乘，用到了李导数的嘉当公式。

泊松括号

哈密顿向量场的概念导致了辛流形 M 上的可微函数的一个斜对称双线性算子，这就是泊松括号，由如下公式定义

这里 LX{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}} 表示沿着向量场 X 的李导数。此外，我们可以验证有恒等式：

这里右边表示哈密顿函数 g 与 g 对应的哈密顿向量场的李括号。事实上有：

作为一个推论，泊松括号满足雅可比恒等式。

这意味着 M 上可微函数组成的向量空间，赋予泊松括号，是 R 上的一个李代数，且映射 f↦ ↦ -->Xf{\displaystyle f\mapsto X_{f}} 是一个李代数反同态，其核由局部常值函数组成（如果 M连通则为常数）。

参考文献

Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. 1978. ISBN 0-8053-1012-X . See section 3.2.

Arnol"d, V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Berlin etc: Springer. 1997. ISBN 0-387-96890-3. 

Frankel, Theodore. The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-38753-1. 

McDuff, Dusa; Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford Mathematical Monographs. 1998. ISBN 0-19-850451-9. 

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