在经典问题上的应用

伽罗瓦理论的诞生最初是由于如下的现在称之为阿贝尔-鲁菲尼定理的问题：

“为什么五次及更高次的代数方程没有一般的代数解法，即这样的方程不能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根？”

伽罗瓦理论不仅对于这个问题提供了一个漂亮的解答，而且详细的解释了为什么四次及更低次方程有代数解，以及它们的代数解为什么是那样的形式。

伽罗瓦理论还给出了一些有关尺规作图的问题的清晰洞察。它给出了所有可以尺规作图的长度比的一个优雅的描述。这样，一些经典几何问题的解答变得相对容易：

“哪些正多边形是可以尺规做出的？”

“为何不能三等分任意角？”

伽罗瓦理论的置换群描述

如果我们给定一个多项式，它的一些根可能是被不同的代数方程联系起来的。例如，有两个根A和B，它们满足方程A + 5B = 7。伽罗瓦理论的核心思想是考虑具有以下性质的根的置换：这些根所满足的任何代数方程，在置换之后也依然成立。一个重要的限制条件是我们要把代数方程的系数限定为有理数。（其实也可以把系数限定在其他的一个给定的域，但是为了简单起见，我们限制在有理数域。）

这些置换形成了一个置换群，也称为这个多项式（在实数域上）的伽罗瓦群。这可以很清晰的举例说明。

第一个例子：二次方程

考虑如下的一元二次方程：

应用一元二次方程的求根公式，我们可以求出它的两个根为

A和B满足的代数方程例如：

显然在这些方程中，如果我们交换A和B，我们同样能得到真命题。例如，方程A + B = 4简单的变成了B + A = 4。进一步的，这对于A和B满足的所有可能的代数方程都成立。证明这个结论需要对称多项式的理论。

我们可以总结出，多项式x − 4x + 1的伽罗瓦群由两个置换构成：保持A和B不变的恒同变换，以及交换A与B位置的对换。它是一个二阶循环群，因此同构于Z/2Z。

这里会有人产生疑问：A和B同样满足另一个代数方程 A − − --> B − − --> 2 3 = 0 {\displaystyle A-B-2{\sqrt {3}}=0} ，但交换A和B时这个方程并不能保持不变。其实这并不是个问题，因为它不是有理系数方程： 3 {\displaystyle {\sqrt {3}无理数是一个无理数。

类似地可以讨论任意二次多项式ax + bx + c,其中a, b和c都是有理数。

如果多项式只有一个根，例如x − 4x + 4 =(x−2),那么伽罗瓦群是平凡的；也就是说，它只包括恒同变换。

如果多项式有两个不同的有理根，例如x − 3x + 2 =(x−2)(x−1)，伽罗瓦群同样是平凡的。

如果多项式有两个无理根（包括根是复数的情况），那么伽罗瓦群包括上面例子中所描述的两个置换。

第二个例子—有些技巧性

考虑多项式

也可以写成

我们同样希望在有理数域上描述这个多项式的伽罗瓦群。这个多项式有四个根：

这四个根有24种可能的排列，但这些排列并不都是伽罗瓦群的元素。伽罗瓦群的元素必须保持所有A, B, C和D满足的有理系数代数方程。这样的方程例如：

因此置换

是不允许的，因为它把真等式A + D = 0变成了假等式A + C = 0，因为A + C = 2√3 ≠ 0.

这些根满足的另一个等式为：

这也会去掉一些置换，例如：

如此继续下去，我们可以求出满足所有等式的置换只有：

因此伽罗瓦群同构于克莱因四元群。

现代的域论描述

现代的研究方法是从代数扩张L/K开始，并分析L/K的自同构群。进一步的解释和例子请参见关于伽罗瓦群的文章。

这两种描述的关系如下说明。问题中的多项式的系数应当属于基域K。扩域L应当是在域K中添加多项式的根之后所得到的域。任一满足上述保持多项式性质的根的置换，都对应L/K的一个自同构，反之亦然。

在上面的第一个例子中，我们研究的是域扩张Q(√3)/Q，其中Q是有理数域，而Q(√3)是在Q中加入√3之后所得到的域。在第二个例子中，我们研究的是域扩张Q(A,B,C,D)/Q。

现代的方法比起置换群的方法，有几点优势：

它使得伽罗瓦理论基本定理的描述更为简洁；

在数学中的很多其他领域需要使用Q以外的基域。例如，在代数数论中，人们经常在代数数域、有限域和局部域上应用伽罗瓦理论。

它使人们更容易研究无穷扩张。这在代数数论中同样很重要，例如人们经常需要研究Q的绝对伽罗瓦群，即当K是Q的一个代数闭包时，K/Q的伽罗瓦群。

它使得人们可以研究不可分扩张。这在经典框架中并不成为问题，因为这时总是可以假定为特征0的；但在数论和代数几何中经常出现特征非0的情况。

它去除了人们对多项式求根的依赖性。也就是说，不同的多项式可能产生同一个扩域，现代的方法可以识别这些多项式之间的联系。

可解群和根式解

群论中可解群的概念让我们得以确定多项式何时有根式解。有根式解的充要条件是其分裂域 L {\displaystyle L} 对基域 F {\displaystyle F} 的伽罗瓦群可解。简言之，取此伽罗瓦群的任一合成列，透过伽罗瓦理论基本定理，合成列对应到一族子域 L = L n ⊃ ⊃ --> L n − − --> 1 ⊃ ⊃ --> ⋯ ⋯ --> ⊃ ⊃ --> L 0 = F {\displaystyle L=L_{n}\supset L_{n-1}\supset \cdots \supset L_{0}=F} ，各段 L i + 1 / L i {\displaystyle L_{i+1}/L_{i}} 的伽罗瓦群一一对应于合成列的因子。若 L i + 1 / L i {\displaystyle L_{i+1}/L_{i}} 之伽罗瓦群是n阶循环群，则域扩张 L i + 1 / L i {\displaystyle L_{i+1}/L_{i}} 由n次根式生成。伽罗瓦群可解当且仅当合成列的因子皆为循环群，于是若群可解，相应方程便有根式解。反向的结果亦不难证明。

伽罗瓦理论的重大成就之一是证明了当 n > 4 {\displaystyle n>4} 时，一般的 n {\displaystyle n} 次多项式无根式解（“一般”意谓将多项式系数视为独立变元），原因是对称群 S n {\displaystyle S_{n}} 在 n > 4 {\displaystyle n>4} 时不可解。

例子：一个不可解的五次方程

考虑整系数多项式 f ( x ) = x 5 − − --> x − − --> 1 {\displaystyle f(x)=x^{5}-x-1} 。根据一次因式检验法， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 无有理根。由整系数之故，模任意素数 p {\displaystyle p} 后可视之为有限域上的多项式 f ¯ ¯ --> p {\displaystyle {\bar {f}}_{p}} ，相应的伽罗瓦群记为 G ¯ ¯ --> p {\displaystyle {\bar {G}}_{p}} 。取 p = 2 , 3 {\displaystyle p=2,3} ，易见 f ¯ ¯ --> p {\displaystyle {\bar {f}}_{p}} 在 Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } 上无一次因式。

f ¯ ¯ --> 2 {\displaystyle {\bar {f}}_{2}} 可分解为 ( x 2 + x + 1 ) ( x 3 + x 2 + 1 ) {\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)} ，故 G ¯ ¯ --> 2 {\displaystyle {\bar {G}}_{2}} 为六阶循环群。

f ¯ ¯ --> 3 {\displaystyle {\bar {f}}_{3}} 无二次因子，故 G ¯ ¯ --> 3 {\displaystyle {\bar {G}}_{3}} 为五阶循环群。

注意到 G ¯ ¯ --> p {\displaystyle {\bar {G}}_{p}} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的伽罗瓦群的子商。 S 5 {\displaystyle S_{5}} 的子群若含有六阶及五阶元素，则该子群生成 S 5 {\displaystyle S_{5}} 。于是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的伽罗瓦群为 S 5 {\displaystyle S_{5}} ，故无根式解。

参考文献

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Jörg Bewersdorff. Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. American Mathematical Society. 2006. ISBN 978-0-8218-3817-4.  .

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Harold M. Edwards. Galois Theory. Springer-Verlag. 1984. ISBN 978-0-387-90980-6. 

B. L. van der Waerden, "Algebra"（1930）

Helmut Völklein, Groups as Galois Groups: An Introduction, Cambridge University Press (1996).

Serge Lang, "Algebraic Number Theory", Addison-Wesley (1970).

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