例子以下令K为体R或C之一。常见的欧氏空间K（其范数为欧几里德范数，x=(x1,…,xn)的范数定义为||x||=(x1+…+xn)）是巴拿赫空间。因此，因为在每一个有限维K向量空间上的所有范数均等价，所以每一个具有任意范数的有限维K向量空间都是巴拿赫空间。考虑一个由定义于闭区间[a,b]上的所有连续函数ƒ:[a,b]→K所组成的空间。这个空间会成为一个巴拿赫空间（标记为C[a,b]），若存在一个定义在此空间中的洽当范数||ƒ||。此类范数可以定义为||ƒ||=sup{|ƒ(x)|:x∈[a,b]}，称之为最小上界范数。上述范数是良好定义的，因为定义于闭区间的连续函数都是有界的。若f为一个定义于闭区间上的连续函数，则此函数为有界的，并其定义如上的最小上界可由极值定理取得，因此可以用最大值来取代最小上界。在此例之中，其范数也称为“最大值范数”。上述空间也可推广至由所有连续函数X→K（其中X为...

正式叙述设A和B是欧几里得空间的两个子集。如果它们可以分为有限个不相交子集的并集，形如A=∪∪-->i=1nAi{\displaystyleA=\cup_{i=1}^{n}A_{i}}和B=∪∪-->i=1nBi{\displaystyleB=\cup_{i=1}^{n}B_{i}}，且对任意i，子集Ai{\displaystyleA_{i}}全等于Bi{\displaystyleB_{i}}，那么这两个子集称为等度分解的(equidecomposable)。于是，这个悖论可以如下叙述：对球来说，五块就足够做到这点了，但少于五块却不行。这个悖论甚至有个更强的版本：换句话说，一块大理石可以分成有限块然后重新组合成一个行星，或者一部电话机可以变形之后藏进水百合花里面。在现实生活中这种变形之所以不可行是因为原子的体积不是无限小，数量不是无限大，但其几何形状确实可以这样变形的。如果知道...

参见巴伐利亚州市镇列表参考

定理设(X,d)为非空的完备度量空间。设T:X→X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数qX内的x和y，都有：那么映射T在X内有且只有一个不动点x（这就是说，Tx=x）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素x0开始，并定义一个迭代序列xn=Txn-1，对于n=1，2，3，……。这个序列收敛，且极限为x。以下的不等式描述了收敛的速率：等价地：且满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。注意对于所有不同的x和y都有d(Tx,Ty)(X,d){\displaystylex_{0}\in(X,d)}。对于每一个n∈∈-->{1,2,……-->}{\displaystylen\in\{1,2,\ldots\}}，定义xn=Txn−−-->1{\displaystylex_{n}=Tx_{n-1}\,\!}。我们声称对于所有的n∈∈-->{1,2,……-->...

人物生平1906年《带帽的自画像》早年生活特奥·凡·杜斯伯格原名克里斯蒂安·埃米尔·玛丽·居伯，1883年8月30日生于乌特勒支，摄影师威廉·居伯与亨莉埃塔·卡特琳娜·马哥丹特之子。短暂的表演和演唱训练经历之后，决心投入绘画事业。他一直将继父特奥多鲁斯·杜斯伯格视作亲生父亲，因此，其首批作品即署名特奥·杜斯伯格，后来又自行插入了“凡”。他于1908年进行了首次个展。1912以降，一直以为杂志供稿支撑绘画工作。虽然当时他自认为是一名现代画家，他的早期作品与阿姆斯特丹印象派并无二致，风格和主题都很有文森特·凡·高的影子。但1913年这种情况急剧转变。杜斯伯格读到瓦西里·康定斯基回忆自己1903到1913年绘画生涯的《回顾》一书，意识到绘画中包含有超越日常生活，仅仅来源于人的认识的更加高远和精神化的层面，而这只可能通过抽象来达成。而在1912年，凡·杜斯伯格就已经在11月9日的《单一》期刊第12...