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拉普拉斯变换

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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形式定义对于所有实数t≥≥-->0{displaystyletgeq0}，函数f(t){displaystylef(t)}的拉普拉斯变换是函数F(s){displaystyleF(s)}

形式定义

对于所有实数 t ≥ ≥ --> 0 {\displaystyle t\geq 0} ，函数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 的拉普拉斯变换是函数 F ( s ) {\displaystyle F(s)} ，定义为：

参数 s {\displaystyle s} 是一个复数：

拉普拉斯变换的其他表示法中使用 L f {\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}f} 或 L t { f ( t ) } {\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}_{t}\left\{f(t)\right\}} 而非 F {\displaystyle F} 。 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 是一个运算符号。

积分的含义取决于函数的类型。该积分存在的一个必要条件是在 f {\displaystyle f} 必须在 [ 0 , ∞ ∞ --> ) {\displaystyle [0,\infty )} 上局部可积。对在无穷大处衰减的局部可积函数或指数式（英语： exponential type ），该积分可以理解为（勒贝格积分格积分。然而，在很多应用中有必要将其视作在 ∞ ∞ --> {\displaystyle \infty } 反常积分敛的反常积分。更一般的，积分可以在较弱的意义上理解，在下面会去处理。

可以用勒贝格积分定义拉普拉斯变换为有限博雷尔测度 μ μ --> {\displaystyle \mu }

一种特殊情况是当 μ μ --> {\displaystyle \mu } 为概率测度，或者更具体地说，狄拉克狄拉克 δ δ --> {\displaystyle \delta } 函数]]时。在运算微积（英语： operational calculus ）中，拉普拉斯变换的测度常常被视作由分布函数 f {\displaystyle f} 带来的测度。在这种情况下，为了避免混淆，一般写作

其中是 0 的下限的简化符号

这个极限强调任何位于 0 的质点都被拉普拉斯变换完全捕获。虽然使用勒贝格积分，没有必要取这个极限，但它可以更自然地与拉普拉斯–斯蒂尔吉斯变换（英语： Laplace–Stieltjes transform ）建立联系。

拉普拉斯逆变换

两个相异的可积函数，只有在其差的勒贝格测度为零时，才会有相同的拉普拉斯变换。因此以转换的角度而言，存在其反转换。包括可积分函数在内，拉普拉斯变换是单射映射，将一个函数空间映射到其他的函数空间。典型的函数空间包括有界连续函数、函数空间L ∞ (0, ∞)、或是更广义，在 (0, ∞) 区间内的缓增广义函数（函数的最坏情形是多项式增长）。

拉普拉斯逆变换（英语： Inverse Laplace transform ）有许多不同的名称，如维奇积分、傅立叶-梅林积分、梅林逆公式，是一个复积分：

其中 γ γ --> {\displaystyle \gamma } 是一个使 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 的积分路径在收敛域内的实数。另一个拉普拉斯逆变换的公式是由 Post反演公式（英语： Post"s inversion formula ）而来。

在实务上一般会配合查表，将函数的拉普拉斯变换分换为许多已知函数的拉普拉斯变换，再利用观察的方式产生其拉普拉斯逆变换。在微分方程中会用到拉普拉斯逆变换，会比用傅里叶转换的处理方式要简单。

性质和定理

函数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 和 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 的拉普拉斯变换分别为 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 和 G ( s ) {\displaystyle G(s)} ：

下面的表格是一系列单边拉普拉斯变换的性质：

初值定理：

终值定理：

与幂级数的关系

拉普拉斯变换可以看成是幂级数的一个连续模拟。如果 a ( n ) 是正整数 n 的一个离散函数，那么与 a ( n ) 相关的幂级数为

其中 x 是实变量（参见Z变换）。将对 n 的加和替换成对 t 的积分，则此幂级数的连续形式为

其中离散型函数 a ( n ) 被替换成连续型的 f ( t )。（参见下文梅林变换。）改变幂的基底 x 为 e 得

要使这个积分对任何有界函数 f 都收敛，就需要满足 log ⁡ ⁡ --> x < 0 {\displaystyle \log {x}<0} 。使用 − s = log x 代换就能得到拉普拉斯变换：

换句话说，拉普拉斯变换是幂级数的一个连续模拟，只是把离散参数 n 换成了连续变量 t ， x 换成了 e 。

与矩的关系

函数 f 的矩为

如果 f 的前 n 阶矩绝对收敛，则通过反复在积分符号内取微分，就得到 ( − − --> 1 ) n ( L f ) ( n ) ( 0 ) = μ μ --> n {\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}} 。这在概率论里是有特别重要的意义的，其中随机变量 X 的矩是 μ μ --> n = E [ X n ] {\displaystyle \mu _{n}=E[X^{n}]} 。下面的关系成立：

证明函数导数的拉普拉斯变换

很方便用拉普拉斯变换的微分性质来求函数导数的变换。从拉普拉斯变换的基本表达式就可以推导如下：

导出

而在双边的情形下，

一般化的结果是

其中 f 表示 f 的 n 阶导数，可以由归纳假设得出。

计算广义积分

令 L { f ( t ) } = F ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)} ，则（参见上面的表格）

或

令 s → 0，假定可以改变取极限顺序，就得到性质

即便在不可以交换，此计算依然有暗示性。例如，形式上按此计算得到

这个性质的正确性可以用其他方法证明。它是傅汝兰尼积分（Frullani integral）的一个例子。

例子还有狄利克雷积分。

与其他变换的联系

与傅里叶变换关系

连续傅里叶变换相当于计算令 s = i ω 或 s = 2πfi 的双边拉普拉斯变换：

与z变换的联系

z 变换表达式为：

其中 z ← ← --> e s T {\displaystyle z\leftarrow e^{sT}\ } . 比较两者表达式有：

拉普拉斯变换简表

下表提供了许多常用单变量函数的拉普拉斯变换。对于定义和解释，请参见表末的注释。

由于拉普拉斯变换是一个线性算子：

和的拉普拉斯变换等于各项的拉普拉斯变换的总和。

一个函数的倍数的拉普拉斯变换等于该函数的拉普拉斯变换的倍数。

使用这个线性性质，以及各种三角、双曲、和复数（等）的性质，可以从其他拉普拉斯变换得到一些拉普拉斯变换，这会比直接通过使用定义更快。

单边拉普拉斯变换取时域为非负实数的函数作为输入，这就是下表中所有时域函数都乘以单位阶跃函数u( t ) 的原因。表中涉及时间延迟 τ 的条目必须是因果的（即 τ > 0）。因果系统是 t = 0 之前的冲激响应 h ( t ) 都为零的一个系统。在一般情况下，因果系统的收敛区域和反因果系统是不相同的。

变换及其性质的应用实例

拉普拉斯变换在物理学和工程中是常用的；线性时不变系统的输出可以通过卷积单位脉冲响应与输入信号来计算，而在拉氏空间中执行此计算将卷积通过转换成乘法来计算。后者是更容易解决，由于它的代数形式。

拉普拉斯变换也可以用来解决微分方程，这被广泛应用于电气工程。拉普拉斯变换把线性差分方程化简为代数方程，这样就可以通过代数规则来解决。原来的微分方程可以通过施加逆拉普拉斯变换得到其解。英国电气工程师奥利弗·黑维塞第一次提出了一个类似的计划，虽然没有使用拉普拉斯变换；以及由此产生的演算被誉为黑维塞演算。

在工程学上的应用

应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性，系统稳定有着重大意义；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。