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拉普拉斯算子

2020-10-16

出处：族谱网

作者：阿族小谱

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定义拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（∇∇-->f{displaystylenablaf}散度的散度（∇∇-->⋅⋅-->∇∇-->f{di

定义

拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（ ∇ ∇ --> f {\displaystyle \nabla f}散度的散度（ ∇ ∇ --> ⋅ ⋅ --> ∇ ∇ --> f {\displaystyle \nabla \cdot \nabla f} ）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：

f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 x i {\displaystyle x_{i}} 中的所有非混合二阶偏导数：

作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k ≥ 2。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：C(R)→ C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ：C(Ω)→ C(Ω)，对于任何开集Ω。

函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：

坐标表示式

二维空间

三维空间

N维空间

在参数方程为 x = r θ θ --> ∈ ∈ --> R N {\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}} （其中 r ∈ ∈ --> [ 0 , + ∞ ∞ --> ) {\displaystyle r\in [0,+\infty )} 以及 θ θ --> ∈ ∈ --> S N − − --> 1 {\displaystyle \theta \in S^{N-1}} ）的 N {\displaystyle N} 维球坐标系中，拉普拉斯算子为：

其中 Δ Δ --> S N − − --> 1 {\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}} 是 N − − --> 1 {\displaystyle N-1} 维贝尔特拉米普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把 ∂ ∂ --> 2 f ∂ ∂ --> r 2 + N − − --> 1 r ∂ ∂ --> f ∂ ∂ --> r {\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}} 的项写成 1 r N − − --> 1 ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> r ( r N − − --> 1 ∂ ∂ --> f ∂ ∂ --> r ) {\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}} 。

恒等式

如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为：

f是径向函数 f ( r ) {\displaystyle f(r)} 且g是球谐函数 Y l m ( θ θ --> , ϕ ϕ --> ) {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )} ，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。 f ( r ) {\displaystyle f(r)} 的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此：

球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数：

因此：

推广

复杂空间上的实值函数

拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆型算子，双曲型算子，或超双曲型算子。

在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子：

达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。

值域为复杂空间

向量值函数的拉普拉斯算子

更多资料：:en:Vector Laplacian

拉普拉斯算子作用在向量值函数上，其结果被定义为一个向量，这个向量的各个分量分别为向量值函数各个分量的拉普拉斯，即

更一般地，对没有坐标的向量，我们用下面的方式定义（受向量恒等式的启发）：