帕斯卡定理
证明
圆
如图,如果圆锥曲线是一圆,圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G,边BC、EF的延长线交于点H,边CD、FA的延长线交于点K。
延长AB、CD、EF,分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点,构成△LMN。
利用梅涅劳斯定理:
直线BC截LM、MN、NL于B、C、H三点,则LBMB⋅ ⋅ -->MCNC⋅ ⋅ -->NHLH=1{\displaystyle {\frac {LB}{MB}}\cdot {\frac {MC}{NC}}\cdot {\frac {NH}{LH}}=1}…①
直线DE截LM、MN、NL于G、D、E三点,则LGMG⋅ ⋅ -->MDND⋅ ⋅ -->NELE=1{\displaystyle {\frac {LG}{MG}}\cdot {\frac {MD}{ND}}\cdot {\frac {NE}{LE}}=1}…②
直线AF截LM、MN、NL于A、K、F三点,则LAMA⋅ ⋅ -->MKNK⋅ ⋅ -->NFLF=1{\displaystyle {\frac {LA}{MA}}\cdot {\frac {MK}{NK}}\cdot {\frac {NF}{LF}}=1}…③
连BE,则LA·LB=LF·LE,∴…④。同理MAMD⋅ ⋅ -->MBMC=1{\displaystyle {\frac {MA}{MD}}\cdot {\frac {MB}{MC}}=1}…⑤,NCNF⋅ ⋅ -->NDNE=1{\displaystyle {\frac {NC}{NF}}\cdot {\frac {ND}{NE}}=1}…⑥。
将①②③④⑤⑥相乘,得NHLH⋅ ⋅ -->LGMG⋅ ⋅ -->MKNK=1{\displaystyle {\frac {NH}{LH}}\cdot {\frac {LG}{MG}}\cdot {\frac {MK}{NK}}=1}。
∵点H、G、K在△LMN的边LN、LM、MN的延长线上,∴H、G、K三点共线。
其余圆锥曲线
任何非退化圆锥曲线皆可经由投影变换投影成圆,故帕斯卡定理于其他圆锥曲线亦成立。
参见
布列安桑定理
帕普斯定理
笛沙格定理
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