证明

圆

如图，如果圆锥曲线是一圆，圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G，边BC、EF的延长线交于点H，边CD、FA的延长线交于点K。

延长AB、CD、EF，分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点，构成△LMN。

利用梅涅劳斯定理：

直线BC截LM、MN、NL于B、C、H三点，则LBMB⋅ ⋅ -->MCNC⋅ ⋅ -->NHLH=1{\displaystyle {\frac {LB}{MB}}\cdot {\frac {MC}{NC}}\cdot {\frac {NH}{LH}}=1}…①

直线DE截LM、MN、NL于G、D、E三点，则LGMG⋅ ⋅ -->MDND⋅ ⋅ -->NELE=1{\displaystyle {\frac {LG}{MG}}\cdot {\frac {MD}{ND}}\cdot {\frac {NE}{LE}}=1}…②

直线AF截LM、MN、NL于A、K、F三点，则LAMA⋅ ⋅ -->MKNK⋅ ⋅ -->NFLF=1{\displaystyle {\frac {LA}{MA}}\cdot {\frac {MK}{NK}}\cdot {\frac {NF}{LF}}=1}…③

连BE，则LA·LB=LF·LE，∴…④。同理MAMD⋅ ⋅ -->MBMC=1{\displaystyle {\frac {MA}{MD}}\cdot {\frac {MB}{MC}}=1}…⑤，NCNF⋅ ⋅ -->NDNE=1{\displaystyle {\frac {NC}{NF}}\cdot {\frac {ND}{NE}}=1}…⑥。

将①②③④⑤⑥相乘，得NHLH⋅ ⋅ -->LGMG⋅ ⋅ -->MKNK=1{\displaystyle {\frac {NH}{LH}}\cdot {\frac {LG}{MG}}\cdot {\frac {MK}{NK}}=1}。

∵点H、G、K在△LMN的边LN、LM、MN的延长线上，∴H、G、K三点共线。

其余圆锥曲线

任何非退化圆锥曲线皆可经由投影变换投影成圆，故帕斯卡定理于其他圆锥曲线亦成立。

参见

布列安桑定理

帕普斯定理

笛沙格定理

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