形式定义对于所有实数t≥≥-->0{\displaystylet\geq0}，函数f(t){\displaystylef(t)}的拉普拉斯变换是函数F(s){\displaystyleF(s)}，定义为：参数s{\displaystyles}是一个复数：拉普拉斯变换的其他表示法中使用Lf{\displaystyle\displaystyle{\mathcal{L}}f}或Lt{f(t)}{\displaystyle\displaystyle{\mathcal{L}}_{t}\left\{f(t)\right\}}而非F{\displaystyleF}。L{\displaystyle{\mathcal{L}}}是一个运算符号。积分的含义取决于函数的类型。该积分存在的一个必要条件是在f{\displaystylef}必须在[0,∞∞-->){\displaystyle[0,\inf...

原文引述拉普拉斯坚信决定论，他在他的概率论（Essaiphilosophiquesurlesprobabilités）导论部分说：“Nousdevonsdoncenvisagerl"étatprésentdel"univers,commel"effetdesonétatantérieur,etcommelacausedeceluiquivasuivre.Uneintelligencequipouruninstantdonné,connaîtraittouteslesforcesdontlaNatureestanimée,etlasituationrespectivedesêtresquilacomposent,sid"ailleu...

公式设B=(bij)是一个n×n矩阵。B关于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的（i，j）余子式。B的（i，j）代数余子式：Cij是指B的（i，j）余子式Mij与(−1)的乘积：Cij=(−1)Mij拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j∈{1,2,...,n}：例子考虑以下的矩阵：这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。证明设B是一个n×n的矩阵，i、j∈{1,2,...,n}。为了明确起见，将Mij{\displaystyleM_{ij}}的系数记为(ast){\displaystyle(a_{st})}，其中1≤s...

定义拉普拉斯算子是n维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度（∇∇-->f{\displaystyle\nablaf}散度的散度（∇∇-->⋅⋅-->∇∇-->f{\displaystyle\nabla\cdot\nablaf}）。因此如果f是二阶可微的实函数，则f的拉普拉斯算子定义为：f的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系xi{\displaystylex_{i}}中的所有非混合二阶偏导数：作为一个二阶微分算子，拉普拉斯算子把C函数映射到C函数，对于k≥2。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：C(R)→C(R)，或更一般地，定义了一个算子Δ：C(Ω)→C(Ω)，对于任何开集Ω。函数的拉普拉斯算子也是该函数的黑塞矩阵的迹：坐标表示式二维空间三维空间N维空间在参数方程为x=rθθ-->∈∈-->RN{\displaystylex=r\theta\in...

概率分布、概率密度以及分位数函数如果随机变量的概率密度函数分布为那么它就是拉普拉斯分布。其中，μ是位置参数，b>0是尺度参数。如果μ=0，那么，正半部分恰好是尺度为1/2的指数分布。拉普拉斯分布的概率密度函数让我们联想到正态分布，但是，正态分布是用相对于μ平均值的差的平方来表示，而拉普拉斯概率密度用相对于平均值的差的绝对值来表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比正态分布更加平坦。根据绝对值函数，如果将一个拉普拉斯分布分成两个对称的情形，那么很容易对拉普拉斯分布进行积分。它的累积分布函数为：逆累积分布函数为生成拉普拉斯变量已知区间(-1/2,1/2]中均匀分布上的随机变量U，随机变量为参数μ与b的拉普拉斯分布。根据上面的逆累计分布函数可以得到这样的结果。当两个相互独立同分布指数(1/b)变化的时候也可以得到Laplace(0,b)变量。同样，当两个相互独立同分布一致变量的比值变化的时候也可以得到L...