历史

中国唐朝数学家王孝通在武德九年（626年)前后所著的《缉古算经》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。

波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如 x 3 + m x = n {\displaystyle x^{3}+mx=n\,} 的方程。事实上，如果我们允许 m {\displaystyle m\,} , n {\displaystyle n\,} 是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。

卡尔丹诺注意到塔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》里包括了这些复数的计算，但他并不真正理解它。拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是复数的发现者。

三次方程解法

求根公式法

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , a ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle {ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}}

x 1 = − − --> b 3 a + b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a + ( b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a ) 2 + ( c 3 a − − --> b 2 9 a 2 ) 3 3 + b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a − − --> ( b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a ) 2 + ( c 3 a − − --> b 2 9 a 2 ) 3 3 {\displaystyle {x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\color {red}\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}}

x 2 = − − --> b 3 a + − − --> 1 + 3 i 2 b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a + ( b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a ) 2 + ( c 3 a − − --> b 2 9 a 2 ) 3 3 + − − --> 1 − − --> 3 i 2 b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a − − --> ( b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a ) 2 + ( c 3 a − − --> b 2 9 a 2 ) 3 3 {\displaystyle {x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}}

x 3 = − − --> b 3 a + − − --> 1 − − --> 3 i 2 b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a + ( b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a ) 2 + ( c 3 a − − --> b 2 9 a 2 ) 3 3 + − − --> 1 + 3 i 2 b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a − − --> ( b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a ) 2 + ( c 3 a − − --> b 2 9 a 2 ) 3 3 {\displaystyle {x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}}

红色 字体部分为判别式 Δ Δ --> {\displaystyle \Delta } 。

当 Δ Δ --> > 0 {\displaystyle {\Delta >0}\,} 时，方程有一个实根和两个共轭复根；

当 Δ Δ --> = 0 {\displaystyle {\Delta =0}\,} 时，方程有三个实根：当

( b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a ) 2 = − − --> ( c 3 a − − --> b 2 9 a 2 ) 3 = 0 {\displaystyle {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=0}}

时，方程有一个三重实根；

当

( b c 6 a 2 − − --> b 3 27 a 3 − − --> d 2 a ) 2 = − − --> ( c 3 a − − --> b 2 9 a 2 ) 3 ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}\neq 0}}

时，方程的三个实根中有两个相等；

当 Δ Δ --> < 0 {\displaystyle {\Delta <0}\,} 时，方程有三个不等的实根。

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 , a ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle {ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}}

x 1 = − − --> 2 b + 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d + ( 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d ) 2 + ( 12 a c − − --> 4 b 2 ) 3 3 + 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d − − --> ( 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d ) 2 + ( 12 a c − − --> 4 b 2 ) 3 3 6 a {\displaystyle {x_{1}={\frac {-2b+{\sqrt[{3}]{36abc-8b^{3}-108a^{2}d+{\sqrt {\color {red}\left(36abc-8b^{3}-108a^{2}d\right)^{2}+\left(12ac-4b^{2}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{36abc-8b^{3}-108a^{2}d-{\sqrt {\left(36abc-8b^{3}-108a^{2}d\right)^{2}+\left(12ac-4b^{2}\right)^{3}}}}}}{6a}}}}

x 2 = − − --> b 3 a + − − --> 1 + 3 i 12 a 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d + ( 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d ) 2 + ( 12 a c − − --> 4 b 2 ) 3 3 + − − --> 1 − − --> 3 i 12 a 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d − − --> ( 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d ) 2 + ( 12 a c − − --> 4 b 2 ) 3 3 {\displaystyle {x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{12a}}{\sqrt[{3}]{36abc-8b^{3}-108a^{2}d+{\sqrt {\left(36abc-8b^{3}-108a^{2}d\right)^{2}+\left(12ac-4b^{2}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{12a}}{\sqrt[{3}]{36abc-8b^{3}-108a^{2}d-{\sqrt {\left(36abc-8b^{3}-108a^{2}d\right)^{2}+\left(12ac-4b^{2}\right)^{3}}}}}}}

x 3 = − − --> b 3 a + − − --> 1 − − --> 3 i 12 a 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d + ( 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d ) 2 + ( 12 a c − − --> 4 b 2 ) 3 3 + − − --> 1 + 3 i 12 a 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d − − --> ( 36 a b c − − --> 8 b 3 − − --> 108 a 2 d ) 2 + ( 12 a c − − --> 4 b 2 ) 3 3 {\displaystyle {x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{12a}}{\sqrt[{3}]{36abc-8b^{3}-108a^{2}d+{\sqrt {\left(36abc-8b^{3}-108a^{2}d\right)^{2}+\left(12ac-4b^{2}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{12a}}{\sqrt[{3}]{36abc-8b^{3}-108a^{2}d-{\sqrt {\left(36abc-8b^{3}-108a^{2}d\right)^{2}+\left(12ac-4b^{2}\right)^{3}}}}}}}

三角函数解

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} ，其中 a ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle a\neq 0} 。

若令 Δ Δ --> = ( − − --> b 3 27 a 3 + − − --> d 2 a + b c 6 a 2 ) 2 + ( c 3 a − − --> b 2 9 a 2 ) 3 = α α --> 2 + β β --> 3 < 0 {\displaystyle \Delta =\left({\frac {-b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {-d}{2a}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=\alpha ^{2}+\beta ^{3}<0} ，则

x 1 = − − --> b 3 a + 2 − − --> β β --> cos ⁡ ⁡ --> [ arccos ⁡ ⁡ --> α α --> ( − − --> β β --> ) 3 2 3 ] {\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}}{3}}\right]}

x 2 = − − --> b 3 a + 2 − − --> β β --> cos ⁡ ⁡ --> [ arccos ⁡ ⁡ --> α α --> ( − − --> β β --> ) 3 2 + 2 π π --> 3 ] {\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}+2\pi }{3}}\right]}

x 3 = − − --> b 3 a + 2 − − --> β β --> cos ⁡ ⁡ --> [ arccos ⁡ ⁡ --> α α --> ( − − --> β β --> ) 3 2 − − --> 2 π π --> 3 ] {\displaystyle x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}-2\pi }{3}}\right]}

卡尔丹诺法

令 K {\displaystyle K\,} 为域，可以进行开平方或立方运算。要解方程只需找到一个根 r {\displaystyle r\,} ，然后把方程 a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,} 除以 x − − --> r {\displaystyle x-r\,} ，就得到一个二次方程，而我们已会解二次方程。

在一个 代数封闭 域，所有三次方程都有三个根。复数域就是这样一个域，这是代数基本定理的结果。

解方程步骤：

把原来方程除以首项系数 a ( a ≠ ≠ --> 0 ) {\displaystyle a\left(a\neq 0\right)\,} ，得到：

代换未知项 x = z − − --> b ′ 3 {\displaystyle x=z-{\frac {b"}{3}}\,} ，以消去二次项。当展开 ( z − − --> b ′ 3 ) 3 {\displaystyle \left(z-{\frac {b"}{3}}\right)^{3}\,} ，会得到 − − --> b ′ z 2 {\displaystyle -b"z^{2}\,} 这项，正好抵消掉出现于 b ′ ( z − − --> b ′ 3 ) 2 {\displaystyle b"\left(z-{\frac {b"}{3}}\right)^{2}\,} 的项 b ′ z 2 {\displaystyle b"z^{2}\,} 。故得：

记 z = u + υ υ --> {\displaystyle z=u+\upsilon \,} 。前一方程化为 ( u + υ υ --> ) 3 + p ( u + υ υ --> ) + q = 0 {\displaystyle (u+\upsilon )^{3}+p(u+\upsilon )+q=0\,} 。

设 U = u 3 {\displaystyle U=u^{3}\,} 和 V = υ υ --> 3 {\displaystyle V=\upsilon ^{3}\,} 。我们有 U + V = − − --> q {\displaystyle U+V=-q\,} 和 U V = − − --> p 3 27 {\displaystyle UV=-{\frac {p^{3}}{27}}\,} 因为 U V = ( u υ υ --> ) 3 = ( − − --> p 3 ) 3 {\displaystyle UV=(u\upsilon )^{3}=(-{\frac {p}{3}})^{3}\,} 。所以 U {\displaystyle U\,} 和 V {\displaystyle V\,} 是辅助方程 X 2 + q X − − --> p 3 27 = 0 {\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+q\mathrm {X} -{\frac {p^{3}}{27}}=0\,} 的根，可代一般二次方程公式得解。

接下来， u {\displaystyle u\,} 和 v {\displaystyle v\,} 是 U {\displaystyle U\,} 和 V {\displaystyle V\,} 的立方根，适合 u v = − − --> p 3 {\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}\,} ， z = u + v {\displaystyle z=u+v\,} ，最后得出 x = z − − --> b ′ 3 {\displaystyle x=z-{\frac {b"}{3}}\,} 。

在域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 里，若 u 0 {\displaystyle u_{0}\,} 和 v 0 {\displaystyle v_{0}\,} 是立方根，其它的立方根就是 ω ω --> u 0 {\displaystyle \omega u_{0}\,} 和 ω ω --> 2 u 0 {\displaystyle \omega ^{2}u_{0}\,} ，当然还有 ω ω --> v 0 {\displaystyle \omega v_{0}\,} 和 ω ω --> 2 v 0 {\displaystyle \omega ^{2}v_{0}\,} ，其中 ω ω --> = e 2 i π π --> 3 {\displaystyle \omega =e^{\frac {2i\pi }{3}}\,} 是单位的立方根。

因为乘积 u v = − − --> p 3 {\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}\,} 固定，所以可能的 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)\,} 是 ( u 0 , v 0 ) {\displaystyle (u_{0},v_{0})\,} ， ( ω ω --> u 0 , ω ω --> 2 v 0 ) {\displaystyle (\omega u_{0},\omega ^{2}v_{0})\,} 和 ( ω ω --> 2 u 0 , ω ω --> v 0 ) {\displaystyle (\omega ^{2}u_{0},\omega v_{0})\,} 。因此三次方程的其它根是 ω ω --> u 0 + ω ω --> 2 v 0 − − --> b ′ 3 {\displaystyle \omega u_{0}+\omega ^{2}v_{0}-{\frac {b"}{3}}\,} 和 ω ω --> 2 u 0 + ω ω --> v 0 − − --> b ′ 3 {\displaystyle \omega ^{2}u_{0}+\omega v_{0}-{\frac {b"}{3}}\,} 。

判别式

最先尝试解的三次方程是实系数（而且是整数）。因为实数域并非代数封闭，方程的根的数目不一定是3个。所遗漏的根都在 C {\displaystyle \mathbb {C} } 里，就是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的代数闭包。其中差异出现于 U {\displaystyle U\,} 和 V {\displaystyle V\,} 的计算中取平方根时。取立方根时则没有类似问题。

可以证明实数根数目依赖于辅助方程的判别式 Δ Δ --> = q 2 4 + p 3 27 {\displaystyle \Delta ={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}} ，

若 Δ Δ --> > 0 {\displaystyle \Delta >0\,} ，方程有一个实根和两个共轭复根；

若 Δ Δ --> = 0 {\displaystyle \Delta =0\,} ，方程有三个实根：当 q 2 4 = − − --> p 3 27 = 0 {\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}=-{\frac {p^{3}}{27}}=0} 时，方程有一个三重实根；当 q 2 4 = − − --> p 3 27 ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}=-{\frac {p^{3}}{27}}\neq 0} 时，方程的三个实根中有两个相等；

若 Δ Δ --> < 0 {\displaystyle \Delta θ θ --> 3 − − --> b 3 a , {\displaystyle x_{1}=2{\sqrt {Q}}\cos {\frac {\theta }{3}}-{\frac {b}{3a}}\,,} x 2 , 3 = 2 Q cos ⁡ ⁡ --> θ θ --> ± ± --> 2 π π --> 3 − − --> b 3 a , {\displaystyle x_{2,3}=2{\sqrt {Q}}\cos {\frac {\theta \pm 2\pi }{3}}-{\frac {b}{3a}}\,,} 其中 θ θ --> = arccos ⁡ ⁡ --> R Q Q , {\displaystyle \theta =\arccos {\frac {R}{Q{\sqrt {Q}}}}\,,} Q = − − --> p 3 , {\displaystyle Q=-{\frac {p}{3}}\,,} R = q 2 {\displaystyle R={\frac {q}{2}}} （注意，由于此公式应对于 x 3 + p x = q {\displaystyle x^{3}+px=q\,} 的形式，因此这里的 q {\displaystyle q\,} 实际上是前段的 − − --> q {\displaystyle -q\,} ，应用时务必注意取负号即 R = − − --> q 2 {\displaystyle R=-{\frac {q}{2}}} ）。

注意到实系数三次方程至少有一实根存在，这是因为非常数多项式在 + ∞ ∞ --> {\displaystyle +\infty \,} 和 − − --> ∞ ∞ --> {\displaystyle -\infty \,} 的极限是无穷大，对奇次多项式这两个极限异连续函数为多项式是连续函数，所以从介值定理可知它在某点的值为0。

第一个例子

解 2 t 3 + 6 t 2 + 12 t + 10 = 0 {\displaystyle 2t^{3}+6t^{2}+12t+10=0\,} 。

我们依照上述步骤进行：

t 3 + 3 t 2 + 6 t + 5 = 0 {\displaystyle t^{3}+3t^{2}+6t+5=0\,} （全式除以 2 {\displaystyle 2\,} ）

设 t = x − − --> 1 {\displaystyle t=x-1\,} ，代换： ( x − − --> 1 ) 3 + 3 ( x − − --> 1 ) 2 + 6 ( x − − --> 1 ) + 5 = 0 {\displaystyle (x-1)^{3}+3(x-1)^{2}+6(x-1)+5=0\,} ，再展开 x 3 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle x^{3}+3x+1=0\,} 。

x = u + v {\displaystyle x=u+v\,} ， U = u 3 {\displaystyle U=u^{3}\,} ， V = v 3 {\displaystyle V=v^{3}\,} 。设 U + V = − − --> 1 {\displaystyle U+V=-1\,} 和 U V = − − --> 1 {\displaystyle UV=-1\,} 。 U {\displaystyle U\,} 和 V {\displaystyle V\,} 是 X 2 + X − − --> 1 = 0 {\displaystyle X^{2}+X-1=0\,} 的根。

该方程的另外两个根：

第二个例子

这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。

方程是 x 3 − − --> 15 x − − --> 4 = 0 {\displaystyle x^{3}-15x-4=0\,} 。

从函数 x ↦ ↦ --> x 3 − − --> 15 x − − --> 4 {\displaystyle x\mapsto x^{3}-15x-4\,} 算出判别式的值 Δ Δ --> = − − --> 13068 < 0 {\displaystyle \Delta =-13068<0\,} ，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做，做第三步： x = u + v {\displaystyle x=u+v\,} ， U = u 3 {\displaystyle U=u^{3}\,} ， V = v 3 {\displaystyle V=v^{3}\,} 。

U {\displaystyle U\,} 和 V {\displaystyle V\,} 是 X 2 − − --> 4 X + 125 = 0 {\displaystyle X^{2}-4X+125=0\,} 的根。这方程的判别式已算出是负数，所以只有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。

我们解出 U = 2 − − --> 11 i {\displaystyle U=2-11{\mathrm {i} }\,} 和 V = 2 + 11 i {\displaystyle V=2+11{\mathrm {i} }\,} 。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部： 现设 u = a + b i {\displaystyle u=a+b{\mathrm {i} }\,} 。

得到 a = 2 {\displaystyle a=2\,} 和 b = − − --> 1 {\displaystyle b=-1\,} ，也就是 u = 2 − − --> i {\displaystyle u=2-{\mathrm {i} }\,} ，而 v {\displaystyle v\,} 是其共轭： v = 2 + i {\displaystyle v=2+{\mathrm {i} }\,} 。

归结得 x = u + v = ( 2 − − --> i ) + ( 2 + i ) = 4 {\displaystyle x=u+v=(2-{\mathrm {i} })+(2+{\mathrm {i} })=4\,} ，可以立时验证出来。

其它根是 x ′ = j ( 2 − − --> i ) + j 2 ( 2 + i ) = − − --> 2 + 3 {\displaystyle x"=j(2-{\mathrm {i} })+j^{2}(2+{\mathrm {i} })=-2+{\sqrt {3}}} 和 x ″ = j 2 ( 2 − − --> i ) + j ( 2 + i ) = − − --> 2 − − --> 3 {\displaystyle x""=j^{2}(2-{\mathrm {i} })+j(2+{\mathrm {i} })=-2-{\sqrt {3}}} ，其中 j = − − --> 1 + 3 i 2 {\displaystyle j={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}} 。

当 Δ Δ --> {\displaystyle \Delta \,} 是负， U {\displaystyle U\,} 和 V {\displaystyle V\,} 共轭，故此 u {\displaystyle u\,} 和 v {\displaystyle v\,} 也是（要适当选取立方根，记得 u v = − − --> p 3 {\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}\,} ）；所以我们可确保 x {\displaystyle x\,} 是实数，还有 x ′ {\displaystyle x"\,} 和 x ″ {\displaystyle x""\,} 。

极值

驻点的公式

设 y = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle \ y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}

将其微分，可得 d y d x = 3 a x 2 + 2 b x + c {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=3ax^{2}+2bx+c}

极值

设 d y d x = 0 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=0} ，可得 x {\displaystyle \ x} 在 y {\displaystyle \ y} 中的极值（极大值或极小值） x e {\displaystyle \ x_{e}} 满足：

3 a x e 2 + 2 b x e + c = 0 {\displaystyle 3ax_{e}^{2}+2bx_{e}+c=0}

x e = − − --> 2 b ± ± --> 4 b 2 − − --> 12 a c 6 a = − − --> b ± ± --> b 2 − − --> 3 a c 3 a {\displaystyle x_{e}={\frac {-2b\pm {\sqrt {4b^{2}-12ac}}}{6a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}}

将 x e = − − --> b ± ± --> b 2 − − --> 3 a c 3 a {\displaystyle x_{e}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}} 代入 y {\displaystyle \ y} ，可得 y {\displaystyle \ y} 的极值 y e {\displaystyle \ y_{e}} ：

y e = a ( − − --> b ± ± --> b 2 − − --> 3 a c 3 a ) 3 + b ( − − --> b ± ± --> b 2 − − --> 3 a c 3 a ) 2 + c ( − − --> b ± ± --> b 2 − − --> 3 a c 3 a ) + d {\displaystyle y_{e}=a\left({\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}\right)^{3}+b\left({\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}\right)^{2}+c\left({\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}\right)+d}

y e = d + 2 b 3 − − --> 9 a b c ± ± --> ( 2 b 2 − − --> 6 a c ) b 2 − − --> 3 a c 27 a 2 {\displaystyle y_{e}=d+{\frac {2b^{3}-9abc\pm \left(2b^{2}-6ac\right){\sqrt {b^{2}-3ac}}}{27a^{2}}}}

拐点

d 2 y d x 2 = 6 a x + 2 b {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=6ax+2b}

设 d 2 y d x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0} ，可得 y {\displaystyle \ y} 。

x = − − --> b 3 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{3a}}}

驻点的类型

由函数取极值的充分条件可知：f ′ ′ --> ′ ′ --> ( x e ) < 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e}) ′ ′ --> ( x e ) > 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e})>0} ， x e {\displaystyle \ x_{e}} 是 f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} 的极小值点；f ′ ′ --> ′ ′ --> ( x e ) = 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{e})=0} ， x e {\displaystyle \ x_{e}} 是 f (拐点 ) {\displaystyle \ f(x)} 的拐点。d 2 y d x 2 = 6 a x + 2 b = 2 ( 3 a x + b ) {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=6ax+2b=2(3ax+b)} 可知：3 a x e + b < 0 {\displaystyle \ 3ax_{e}+b 0 {\displaystyle \ 3ax_{e}+b>0} ， y {\displaystyle \ y} 的驻点为极小值点；3 a x e + b = 0 {\displaystyle \ 3ax_{e}+b=0} ， y {\displaystyle \ y} 的驻点为拐点。

参见

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