定义

两个拓扑空间{X,TX}和{Y,TY}之间的函数f : X → Y称为同胚，如果它具有下列性质：

f是双射（单射和满射）；

f是连续的；

反函数f也是连续的（f是开映射）。

满足以上三个性质的函数有时称为双连续。自同胚就是从一个拓扑空间到它本身的同胚。同胚形成了所有拓扑空间的类上的等价关系。所得到的等价类称为同胚类。

例子

三叶结与圆同胚。虽然这表面上不合理，但是在四维空间中很容易把三叶结连续变形成一个圆。

R内的单位圆盘D和单位正方形是同胚的。

开区间(−1, 1)与实直线R同胚。

积空间S1× S与二维环面同胚。

每一个一致同构和等距同构都是同胚。

任何二维球面去掉一个点都与R中的所有点所组成的集合（二维平面）同胚。

设A{\displaystyle A}为一个有单位的交换环，并设S{\displaystyle S}为A{\displaystyle A}的乘法子集。那么Spec (AS){\displaystyle (A_{S})}与{p∈ ∈ -->SpecA:p∩ ∩ -->S=∅ ∅ -->}{\displaystyle \{p\in {\textrm {Spec}}A:p\cap S=\emptyset \}}同胚。

当n≠ ≠ -->m{\displaystyle n\neq m}时，Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}不与Rm{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}同胚。

一个连续和双射但不是同胚的函数的例子，是把半开区间[0,1){\displaystyle [0,1)}缠绕到圆上的映射。在这个情况中，逆映射虽然存在，但不是连续的。

性质

同胚是拓扑空间范畴中的同构。因此，两个同胚的复合映射也是同胚，且所有自同胚X → X形成了一个群，称为X的自同胚群，通常记为Homeo(X)。

两个同胚的空间具有相同的拓扑性质。例如，如果其中一个是紧空间，那么另外一个也是紧空间；如果其中一个是连通空间，那么另外一个也是连通空间，等等。然而，这不能推广到通过度量所定义的性质；如果两个度量空间是同胚的，那么仍然有可能其中一个是完备的，而另外一个不是。

同胚既是开映射又是闭映射，也就是说，它把开集映射到开集，把闭集映射到闭集。

每一个S1{\displaystyle S^{1}}的自同胚都可以延伸到整个圆盘D2{\displaystyle D^{2}}的自同胚。

参见

局部同胚

微分同胚

一致同构（一致空间的同构）

等距同构（度量空间的同构）

同胚 (图论)（与图的剖分有密切联系）

同痕

映射类群

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