施图姆序列

我们首先从以下不含平方因式的多项式构造一个施图姆序列：

施图姆序列是把辗转相除法应用于X和它的导数X1 = X′时，所得到的中间结果的序列。

施图姆序列由以下公式计算：

也就是说，序列中每一项都是前两项相除所得的余数，并将其变号。由于当1≤ ≤ -->iXi+1≤ ≤ -->deg⁡ ⁡ -->Xi− − -->1{\displaystyle \operatorname {deg} X_{i+1}\leq \operatorname {deg} X_{i}-1}，因此这个序列最终要停止。最后一个多项式，Xr，就是X和它的导数的最大公因式。由于X没有重根，因此Xr是一个常数。于是，施图姆序列为：

表述

设σ(ξ)为以下序列中符号变化的次数（零不计算在内）：

其中X是不含平方因式的多项式。于是，施图姆定理说明，对于两个实数a b，半开区间(a,b]中的不同根的个数为σ(a)−σ(b)。

应用

通过恰当选择a和b，这个定理可以用来计算多项式的实根的总个数。例如，柯西发现的一个定理说明，系数为ai的多项式的所有实根都在区间[−M,M]内，其中：

除此以外，我们还可以利用下列事实：对于很大的x，以下多项式的符号

是sgn(an)，而sgn(P(−x))则是sgn((−1)an)。

用这种方法，仅仅计算施图姆序列中首项系数的符号变化，就可以得出多项式的不同实根的个数。

通过施图姆定理的帮助，我们还可以决定某个给定根（例如ξ）是几重根。确实，假设我们知道ξa和b之间，且σ(a)−σ(b) = 1。那么，ξ是m重根正好当ξ是Xr的m−1重根时（这是因为它是X和它的导数的最大公因式）。

广义施图姆序列

设ξ位于紧区间[a,b]内。[a,b]上的广义施图姆序列，是实系数多项式(X0，X1，……，Xr)的一个有限序列，使得：

X(a)X(b) ≠ 0

sgn(Xr)在[a,b]内是常数

如果当1 ≤ i ≤ r−1时，Xi(ξ) = 0，那么Xi−1(ξ)Xi+1(ξ) < 0。

我们可以验证每一个施图姆序列确实是广义施图姆序列。

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参考资料

D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.

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