定义

设Δ Δ -->f(xi)=f(xi)− − -->f(xi− − -->1){\displaystyle \Delta f(x_{i})=f(x_{i})-f(x_{i-1}实数，若一个定义于实数区间[a,b]{\displaystyle [a,b]}上函数f{\displaystyle f}是有界变差函数，则对于任意在[a,b]{\displaystyle [a,b]}上的划分P={x0,x1,.....,xn}{\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},.....,x_{n}\}}而言，存在一正实数M{\displaystyle M}而言，有∑ ∑ -->i=1n|Δ Δ -->f(xi)|≤ ≤ -->M{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|\Delta f(x_{i})|\leq M}

其定义可推广至复数乃至于任何的欧几里德空间上。

性质

任意单调函数都是有界变差的。

设f{\displaystyle f}在区间[a,b]{\displaystyle [a,b]}上满足Lipschitz条件，即存在常数K>0{\displaystyle K>0}，使得对于任意x′,x″{\displaystyle x",x""}，有|f(x′)− − -->f(x″)|≤ ≤ -->K|x′− − -->x″|{\displaystyle |f(x")-f(x"")|\leq K|x"-x""|}，则f{\displaystyle f}在[a,b]{\displaystyle [a,b]}上是有界变差的。

若f{\displaystyle f}在区间[a,b]{\displaystyle [a,b]}上连续，且在区间的内部(a,b){\displaystyle (a,b)}可微，若对于任意在f{\displaystyle f}定义域[a,b]{\displaystyle [a,b]}的内部(a,b){\displaystyle (a,b)}的点x{\displaystyle x}而言，存在一正实数A{\displaystyle A}使得|f′(x)|≤ ≤ -->A{\displaystyle |f"(x)|\leq A}，则f{\displaystyle f}在[a,b]{\displaystyle [a,b]}上是有界变差的。

若f{\displaystyle f}在区间[a,b]{\displaystyle [a,b]}上是有界变差的，则f{\displaystyle f}在该区间上亦是有界的。

若f{\displaystyle f}在区间[a,b]{\displaystyle [a,b]}上是有界变差的，则其不连续点的数量是可数的。

参见

总变差

参照

T. M. Apostol, Mathematical Analysis, second edition.

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