例子

(abcbdecef),(130316061),(1557),(2){\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&1&6\\0&6&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}

特性

对于任何方形矩阵X{\displaystyle X}，X+XT{\displaystyle X+X^{T}}是对称矩阵。

A{\displaystyle A}为方形矩阵是A{\displaystyle A}为对称矩阵的必要条件。

对角矩阵都是对称矩阵。

两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

用表示Rn{\displaystyle R^{n}}上的内积。n× × -->n{\displaystyle n\times n}的实矩阵A{\displaystyle A}是对称的，当且仅当对于所有x,y∈ ∈ -->Rn{\displaystyle x,y\in {\mathbb {R}}^{n}}，⟨ ⟨ -->Ax,y⟩ ⟩ -->=⟨ ⟨ -->x,Ay⟩ ⟩ -->{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }。

任何方形矩阵X{\displaystyle X}，如果它的元素属于一个特征不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：

每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

若对称矩阵A{\displaystyle A}的每个元素均为实数，A{\displaystyle A}是Hermite矩阵。

一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。

如果X是对称矩阵，那么 AXAT{\displaystyle AXA^{\textrm {T}}} 也是对称矩阵.

分解

利用若尔当标准形，我们可以证明每一个实方阵都可以写成两个实对称矩阵的乘积，而每一个复方阵都可以写成两个复对称矩阵的乘积。(Bosch, 1986)

每一个实非奇异矩阵都可以唯一分解成一个正交矩阵和一个对称正定矩阵的乘积，这称为极分解。奇异矩阵也可以分解，但不是唯一的。

楚列斯基分解说明每一个实正定对称矩阵都是一个上三角矩阵和它的转置的乘积。

黑塞矩阵

实对称n × n矩阵出现在二阶连续可微的n元函数的黑塞矩阵之中。

R上的每一个二次型q都可以唯一写成q(x) = xAx的形式，其中A是对称的n × n矩阵。于是，根据谱定理，可以说每一个二次型，不考虑R的正交基的选择，“看起来像”：

其中λi是实数。这大大简化了二次型的研究，以及水平集{x : q(x) = 1}的研究，它们是圆锥曲线的推广。

这是很重要的，部分是由于每一个光滑的多元函数的二阶表现，都由属于该函数的黑塞矩阵的二次型描述；这是泰勒定理的一个结果。

可对称化矩阵

矩阵A称为可对称化的，如果存在一个可逆对角矩阵D和一个对称矩阵S，使得：

可对称化矩阵的转置也是可对称化的，因为(DS)T=DD− − -->1SD{\displaystyle (DS)^{T}=DD^{-1}SD}。矩阵A=[ajk]{\displaystyle A=[a_{jk}]}是可对称化的，当且仅当满足以下的条件：

如果aij=0{\displaystyle a_{ij}=0}，那么aji=0{\displaystyle a_{ji}=0}；

对于任何有限序列i1,i2,...,ik{\displaystyle i_{1},i_{2},...,i_{k}}，都有ai1i2ai2i3...aiki1=ai2i1ai3i2...ai1ik{\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}...a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}...a_{i_{1}i_{k}}}。

与不等式的关系

对称阵 Z 分解为3行3列:

当且仅当

时, 存在 X=Z13TZ11− − -->1Z12− − -->Z23T{\displaystyle X=Z_{13}^{T}Z_{11}^{-1}Z_{12}-Z_{23}^{T}}, 使得

成立。

参见

循环矩阵

汉克尔矩阵

特普利茨矩阵

中心对称矩阵

希尔伯特矩阵

考克斯特矩阵

协方差矩阵

参考文献

A. J. Bosch. The factorization of a square matrix into two symmetric matrices. American Mathematical Monthly. 1986, 93: 462–464. doi:10.2307/2323471. 

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