延伸到负数

用Ln-2 = Ln - Ln-1的公式，我们可以把卢卡斯数延伸到负数。这样我们得到以下数列：

(... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...)

一般地，我们有

L− − -->n=(− − -->1)nLn.{\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}

与斐波那契数的关系

卢卡斯数与斐波那契数有以下关系：

Ln=Fn− − -->1+Fn+1{\displaystyle \,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}}

Ln2=5Fn2+4(− − -->1)n{\displaystyle \,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}，因此，当n{\displaystyle n\,}趋近于无穷大时，LnFn{\displaystyle L_{n} \over F_{n}\,}趋近于5{\displaystyle {\sqrt {5}}\,}。

F2n=LnFn{\displaystyle \,F_{2n}=L_{n}F_{n}}

Fn=Ln− − -->1+Ln+15{\displaystyle \,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}

通项公式为：

其中φ φ -->{\displaystyle \varphi }是黄金分割比。

同余关系

如果n是素数，则Ln被n除余1，但某些合数也具有这个性质。

卢卡斯素数

卢卡斯素数就是既是卢卡斯数又是素数的整数。最小的几个卢卡斯素数为：

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ... （OEIS中的数列A005479）

除了n = 0、4、8、16的情况外，如果Ln是素数，则n是素数。但是，它的逆命题不成立。

参考

卢卡斯数列

参考文献

Hoggatt, V. E. Jr. The Fibonacci and Lucas numbers. Boston, MA: Houghton Mifflin, 1969.

Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

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