定义

一个初值问题涉及微分方程式

与在 f{\displaystyle f\,\!} 的定义域内的一点

这在 f{\displaystyle f\,\!} 的定义域内的点 (t0, y0){\displaystyle (t_{0},\ y_{0})\,\!} 称为初始条件。

假若初值问题的一个解是函数 y{\displaystyle y\,\!} ，则 y{\displaystyle y\,\!} 是微分方程式 y′(t)=f(t, y(t)){\displaystyle y"(t)=f(t,\ y(t))\,\!} 的解，满足 y(t0)=y0{\displaystyle y(t_{0})=y_{0}\,\!} 。

对于更高阶的问题，可视 y{\displaystyle \mathbf {y} \,\!} 为向量。每加高一个阶，就増添一个分量给 y{\displaystyle \mathbf {y} \,\!} 。

解的存在性及唯一性

对于许多的初值问题，解的存在性及唯一性可以用计算机来描述。

若ƒ在一个包括t0及y0的区间内连续，且对变数y满足利普希茨连续的条件．则皮卡-林德勒夫定理可保证在一个包括t0的区间有唯一解。

此定理的证明需将问题变成等价的积分方程，积分可视为将一个函数映射为另一个函数的运算子，因此其解为运算子的不动点，再利用巴拿赫不动点定理证明有一个唯一的不动点．即为初值问题的解。

较早期证明皮卡-林德勒夫定理的方式是建构一个函数的数列，最终会收敛到积分方程的解，也就是初值问题的解。这种建构法称为“皮卡法”或是“连续近似法”，是巴拿赫不动点定理的一个特例。

日本数学家冈村博（日语：岡村博）找到一个初值问题有唯一解的充分必要条件，其条件是要证实系统的李亚普诺夫函数存在。

有些情形，函数ƒ不是光滑函数，甚至不是利普希茨连续，因此一般可确认局部唯一解的方式无法适用。皮亚诺存在性定理可以在函数ƒ仅仅为连续函数的情形，证明存在局部解。不过此时无法证明解的唯一性。卡拉特欧多存在性定理（英语：Carathéodory existence theorem）可适用的范围更广，可以在ƒ是一些特定不连续函数的情形下证明局部解是否存在。

范例

一个简单的范例是求解y′=0.85y{\displaystyle y"=0.85y}及y(0)=19{\displaystyle y(0)=19}，要求出一个y(t){\displaystyle y(t)}满足上述二式。

由于y′=dydt{\displaystyle y"={\frac {dy}{dt}}}，因此

接下来重新整理方程式，使y{\displaystyle y}在等式左边，t{\displaystyle t}在等式右边

再将等式二边积分，会引入未知常数B{\displaystyle B}

消去ln{\displaystyle \ln }

令C{\displaystyle C}为一个新的未知常数，C=± ± -->eB{\displaystyle C=\pm e^{B}}，因此

现在需要找出C{\displaystyle C}的数值。利用y(0)=19{\displaystyle y(0)=19}的启始条件，将t{\displaystyle t}代入0，y{\displaystyle y}代入19

因此可得其解为y(t)=19e0.85t{\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}.

利用拉普拉斯变换

利用部分分式分解

拉普拉斯逆变换

参阅

边值问题

柯西问题

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